Muelle vertical (GIA)

Enunciado

Se tiene un muelle vertical de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K} y longitud natural $l_{0}$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, ${\vec {g}}=g\,{\vec {\imath }}_{1}$.

1. Se cuelga una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
2. Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
3. Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?

Nota : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.

Solución

Elongación con masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}

Si dejamos colgar el muelle verticalmente bajo la acción de la gravedad, su propio peso lo estira, oscila ligeramente y finalmente deja de moverse (alcanza el equilibrio) con una determinada longitud que llamaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} . Cuando colgamos una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , el muelle se estira nuevamente. El equilibrio se restablece cuando el balance de fuerzas sobre la masa es cero, es decir, cuando se cumple la condición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g} + \vec{F}_K = 0 }

Si escogemos el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} como se indica en la figura tenemos

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=mg\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {F}}_{K}=-K\,(l_{1}-l_{0})\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

De este modo obtenemos la longitud de equilibrio del muelle con la masa m

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg -K(l_1-l_0) = 0 \Longrightarrow l_1 =\dfrac{mg}{K} + l0 }

Aumento de la elongación una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L}

Si partiendo de la situación anterior estiramos con la mano, estamos añadiendo una fuerza que produce una nueva situación de equilibrio con una elongación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_2 = l_1 + L }

En ese momento las fuerza que actúan sobre la masa son el peso, la ejercida por la mano y la del resorte. Al soltar la masa, desparece la fuerza de la mano. En ese instante la suma total de fuerzas es distinta de cero, por lo que la masa adquiere una aceleración dada por la Segunda Ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a} = m\ddot{\vec{r}} = m\vec{g} + \vec{F}_K }

Movimiento de la masa

La Segunda ley de Newton nos proporciona la ecuación diferencial que determina el movimiento. En un instante dado la elongación del muelle es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t)} . Como suponemos que todos los movimientos son verticales, la posición, velocidad y aceleración de la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} son

${\vec {r}}=l\,{\vec {\imath }},\qquad \qquad {\dot {\vec {r}}}={\dot {l}}\,{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\ddot {\vec {r}}}={\ddot {l}}\,{\vec {\imath }}$

La fuerza ejercida por el muelle es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_K = -K\,(l-l_0)\,\vec{\imath} }

La ecuación de movimiento queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,\ddot{l}\,\vec{\imath} = m\,g\,\vec{\imath} -K\,(l-l_0)\,\vec{\imath} }

Vamos a describir el movimiento en función de la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} indicada en la figura adjunta. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l = l_1 + s, \qquad\qquad \dot{l}=\dot{s} \qquad\qquad \ddot{l}=\ddot{s} }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_1} la posición de equilibrio alcanzada por el muelle cuando se le cuelga la masa $m$. Utilizando el resultado del apartado anterior en la ecuación de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t)} , y prescindiendo de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}} , pues el movimiento es unidimensional, la ecuación queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -\dfrac{K}{m}\,s }

Las condiciones iniciales son velocidad inicial cero, pues parte del reposo, y elongación inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t = 0) = l_1 + L} . Trasladadas a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} el problema queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{lcl} \ddot{s} = -\omega^2 s &\mathrm{con}& \omega=\sqrt{K/m} \\ \\ s(0) = L && \dot{s}(0) = 0 \end{array} \right. }

Las soluciones de esta ecuación son una combinación de exponenciales. En este caso, agrupamos las exponenciales en forma de senos y cosenos, de modo que buscamos una solución de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} s(t) = A\cos(\omega t) + B\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \\ \\ \dot{s}(t) = -A\,\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t) + B\,\omega\cos(\omega t) \end{array} \right. }

Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} s(0) = L \Longrightarrow A = L \\ \\ \dot{s}(0) = 0 \Longrightarrow B = 0 \end{array} \right. }

Por tanto la posición de la masa en función del tiempo viene descrita por la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = L\cos(\omega t)\qquad\qquad \mathrm{con}\qquad \omega = \sqrt{K/m} }

La masa oscila con un período

$T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\dfrac {m}{K}}}$