Movimiento oscilatorio armónico unidimensional

Enunciado

Un punto inicialmente en reposo en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=L} describe un movimiento rectilíneo sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} , de modo que su aceleración es de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = -k^2x} . Determina en función del tiempo su posición y velocidad. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Solución

Al ser el movimiento unidimensional sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX } podemos describir los vectores cinemáticos de la partícula como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r}(t) = x(t)\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{v}(t) = \dot{x}(t)\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{a}(t) = \ddot{x}(t)\,\vec{\imath} \end{array} }

De nuevo, como el movimiento es unidimensional, prescindiremos de los vectores a partir de ahora.

El enunciado nos da una relación entre la aceleración y la posición. Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \ddot{x} } nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x} = -k^2x }

Esta es una ecuación diferencial en la que la incógnita es la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) } . Esta ecuación en concreto es la ecuación diferencial del oscilador armónico. Se reconoce por su estructura. A la izquierda está la derivada segunda de la función incógnita, y a la derecha la propia función incógnita, multiplicada por un numero positivo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (k^2) } y con un signo menos.

Hay dos funciones que son solución de esta ecuación: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(kt) } y $\mathrm {sen} \,(kt)$. Podemos verificarlo haciendo las derivadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} x(t) = \cos(kt) \to \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -k\,\mathrm{sen}\,(kt)\\ \ddot{x} = -k^2\cos(kt) \end{array} \right. \end{array} }

Y por tanto se verifica la ecuación. Si derivamos el seno ocurre lo mismo.

Si tenemos dos posibles soluciones, ¿cual es la buena?. Pues una combinación lineal de las dos. La ecuación diferencial es lineal, que quiere decir que la función incógnita y sus derivadas sólo aparecen como potencias de exponente 1. En este tipo de ecuaciones una combinación lineal de soluciones también es solución de la ecuación. Entonces, la solución mas general se puede escribir así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) = A\cos(kt) + B\,\mathrm{sen}\,(kt) }

Podemos verificar de nuevo que esta expresión es solución de la ecuación diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} x(t) = A\cos(kt) + B\,\mathrm{sen}\,(kt) \\ \\ \dot{x} = -kA\,\mathrm{sen}\,(kt) + kB\cos(kt)\\ \\ \ddot{x} = -k^2A\cos(kt) - k^2B\,\mathrm{sen}\,(kt) = -k^2\,x(t)\\ \end{array} }

$A$ y $B$ son constantes de integración. Su valor se determina a partir de las condiciones iniciales, es decir, la posición y velocidad iniciales de la partícula. El enunciado nos dice que parte del reposo y a una distancia $L$ del origen. Es decir, las condiciones iniciales son

$x(0)=L\qquad \qquad v(0)={\dot {x}}(0)=0$

Con estas condiciones obtenemos dos ecuaciones para $A$ y $B$

${\begin{array}{lclcl}x(0)=L&\to &A\cos(0)+B\,\mathrm {sen} \,(0)=L&\to &A=L\\\\{\dot {x}}(0)=0&\to &-kA\,\mathrm {sen} \,(0)+kB\cos(0)=0&\to &B=0\\\end{array}}$

Por tanto la posición y la velocidad de la partícula en cada instante vienen dadas por

${\begin{array}{l}x(t)=L\cos(kt)\\\\v(t)={\dot {x}}=-kL\,\mathrm {sen} \,(kt)\end{array}}$

La partícula realiza un movimiento oscilatorio entre los puntos $x=L$ y $x=-L$. El tiempo que tarda en ir y volver es el período. Para obtener su valor imponemos que el coseno realice un ciclo completo

$x(T)=x(0)\to L\cos(kT)=L\cos(0)\to kT=2\pi \to T={\dfrac {2\pi }{k}}$

Los puntos de reposo son aquellos en que la velocidad es nula, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}(t_n) = 0 \to \mathrm{sen}\,(kt_n)=0 \to kt_n = i\pi \quad (n=0,1,2,\ldots) }

Es decir los instantes en que la partícula está en reposo son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_n = \dfrac{n\pi}{k} \quad (n=0,1,2,\ldots) }

Señalemos que el intervalo de tiempo entre dos paradas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t = \dfrac{\pi}{k} = \dfrac{T}{2} }

Corresponden a las posiciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=L } y $x=-L$.