Campo de dos planos paralelos (GIOI)

Enunciado

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia b que almacenan respectivamente densidades de carga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\sigma_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sigma_0} . Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales.

Según se ve en el problema “Campo de un plano infinito”, el campo debido a un plano cargado uniformemente situado en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<0)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>0)\end{cases}}

Si este plano está en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = -b/2} simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_1=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<-b/2)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>-b/2)\end{cases}}

Para el segundo plano, cambiamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -b} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_0} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sigma_0} , lo que nos deja

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_2=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<b/2)\\ & \\ \displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>b/2)\end{cases}}

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones:

Por debajo del plano inferior (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z<-b/2} )

En esta zona los campos son iguales y opuestos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}}

Entre los dos planos (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -b/2 < z<b/2} )

En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{k}}

Por encima del plano superior (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z>b/2} )

En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}}

Tenemos entonces que dos planos infinitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos.

Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el infinito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos.