Tubo con cámaras con hidrógeno y nitrógeno

Enunciado

Se tiene una cámara cilíndrica horizontal de 100 cm² de sección y 60 cm de longitud de paredes rígidas no aisladas térmicamente. En el punto medio del tubo se encuentra un émbolo (de espesor despreciable) que puede desplazarse, aunque inicialmente está fijado con pernos. En la cámara de la izquierda hay 2.8 g de H₂ gaseoso y en la de la derecha 2.8 g de N₂. Los dos gases y el ambiente que los rodea están a 27°C.

1. Halle la fuerza que los gases producen sobre el émbolo cuando éste se encuentra en la posición central.
2. Determine la posición final del émbolo una vez que se liberan los pernos, suponiendo que todas las superficies son diatermas

Fuerza

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell = 60\,\mathrm{cm}} la longitud del tubo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = 100\,\mathrm{cm}^2} su sección. El volumen cada gas es el mismo, la mitad del del cilindro

$V_{H}=V_{N}={\frac {S\ell }{2}}=3000\,\mathrm {cm} ^{3}=3\,\mathrm {L}$

En lo que sigue mediremos la presión en kPa y el volumen en L, de manera que su producto cumple $1\,\mathrm {kPa} \cdot 1\,\mathrm {L} =1\,\mathrm {J}$.

También son iguales sus temperaturas

$T_{H}=T_{N}=300\,\mathrm {K}$

Sus presiones, sin embargo, son diferentes. Aunque en las dos cámaras se encuentra la misma masa de gas, el número de moles es diferente. Obtenemos la cantidad de moles dividiendo por el peso molecular. Para el hidrógeno Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_m = 2.016\,{\mathrm{g}}/{\mathrm{mol}}} , que podemos aproximar simplemente por 2.0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_H = \frac{m}{P_m} = 1.4\,\mathrm{mol}}

y para el nitrógeno Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_m = 28.0134\,{\mathrm{g}}/{\mathrm{mol}}} , que podemos aproximar simplemente por 28.0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_N = \frac{m}{P_m} = 0.1\,\mathrm{mol}}

Esto nos da la presión del hidrógeno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_H = \frac{n_H R T_H}{V_H}= \frac{1.4\times 8.314\times 300}{3}\,\mathrm{kPa} = 1164\,\mathrm{kPa}}

y la del nitrógeno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_N = \frac{n_N R T_N}{V_N}= \frac{0.1\times 8.314\times 300}{2}\,\mathrm{kPa} = 83.14\,\mathrm{kPa}}

Vemos que la presión es mucho mayor en el lado del hidrógeno, por haber muchos más moles de este gas.

La fuerza sobre el émbolo la obtenemos a partir de la diferencia de presiones

$F=(p_{H}-p_{N})S=(1164-83.14)\mathrm {kPa} \times 0.01\,\mathrm {m} ^{2}=10.81\,\mathrm {kN}$

Resulta una fuerza gigantesca, debida a la elevada diferencia de presiones entre los dos lados. Esta fuerza va dirigida desde el lado del hidrógeno, que está a mayor presión, hacia el del nitrógeno, donde es más reducida.

Posición de equilibrio

Si liberamos el pistón, este saldrá disparado (ya que se trata, en el fondo, de una pistola de aire comprimido), pero –suponiendo que no se rompa–, al expandirse el hidrógeno, se comprime el nitrógeno, con lo que la presión de uno disminuye y la del otro aumenta. Cuando se alcanza de nuevo el equilibrio mecánico, las dos presiones son iguales, aunque no sabemos cuanto vale, por ahora,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_H = p_N\,}

y, puesto que el sistema tiene paredes diatermas, la temperatura de los dos gases será la misma e igual a la exterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_H = T_N = 300\,\mathrm{K}}

Tampoco conocemos el volumen de cada gas, pero sí que juntos nos dan el volumen total. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_H} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_N} son las longitudes de cada cámara en la dirección del eje del cilindro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_H + \ell_N = \ell\qquad\qquad V_H = \ell_HS\qquad\qquad V_N = \ell_NS}

Nos queda entonces el sistema de ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_H+\ell_N = \ell\qquad\qquad \frac{n_HRT_H}{S\ell_H}=\frac{n_NRT_N}{S\ell_N}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{n_H}{\ell_H}=\frac{n_N}{\ell_N}}

con la solución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_H = \frac{n_H\ell}{n_H+n_N}=56.0\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \ell_N = \frac{n_N\ell}{n_H+n_N}=4.0\,\mathrm{cm}}

Vemos que el hidrógeno se expande hasta ocupar casi todo el cilindro.