Campo eléctrico de un anillo no homogéneo

Enunciado

Un anillo de radio b se encuentra cargado con una densidad lineal de carga $\lambda =\lambda _{0}\cos ^{2}(\theta '/2)$. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Carga total

En primer lugar, debemos recordar la identidad trigonométrica

$\cos ^{2}\left({\frac {\theta '}{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta ')}{2}}$

Tenemos, para la carga

$Q=\int _{L}\mathrm {d} q=\int _{0}^{2\pi }\lambda (\theta ')\mathrm {d} \ell =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\lambda _{0}}{2}}(1+\cos(\theta ')b\mathrm {d} \theta '$

Esta integral es suma de dos integrales simples

$Q={\frac {\lambda _{0}b}{2}}\left(\overbrace {\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta '} ^{=2\pi }+\overbrace {\int _{0}^{2\pi }\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '} ^{=0}\right)=\pi \lambda _{0}b$