Disco en manivela ranurada

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio $R$ y centro $C$ (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $OX_{1}$; y una manivela ranurada $OA$ (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto $O$ y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje $OZ_{1}$). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

1. Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
2. Utilizando como parámetro geométrico el ángulo $\theta$ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ),{\vec {v}}_{20}^{\,C}(\theta )\}$.
3. Clasificar el movimiento {20} en el instante en que $\theta =\pi /2$ especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

Posición del CIR

Por el teorema de los tres centros, el CIR $I_{20}$ debe estar alineado con el $I_{21}$ y el $I_{01}$.

Por tratarse de una rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento {21} es el punto de contacto de la rueda con el eje horizontal.

El CIR del movimiento {01} es el punto O, de articulación de la manivela con el eje.

Por estar alineado con estos dos, el CIR del movimiento {20} debe encontrarse sobre el eje horizontal $OX_{1}$. Queda por determinar dónde exactamente.

El vínculo de que el centro C del disco se encuentre sobre la manivela obliga a que la velocidad del punto C en el movimiento {20} sea necesariamente a lo largo de ésta. Puesto que el CIR se encuentra sobre la recta que pasa por C y es perpendicular a la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{C}$ basta con trazar la perpendicular a la manivela en C. El punto donde esta recta corta al eje $OX_{1}$ es el CIR $I_{20}$.

El vector de posición de este punto será de la forma

${\overrightarrow {OI}}_{20}=x{\vec {\imath }}_{1}$

El valor de $x$ lo obtenemos aplicando trigonometría. El segmento $OI_{20}$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto contiguo es $OC$. Por tanto

$x=\left|{\overrightarrow {OI}}_{20}\right|={\frac {|{\overrightarrow {OC}}|}{\cos(\theta )}}$

A su vez OC es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide R, el radio del disco

$\left|{\overrightarrow {OC}}\right|={\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}$

Por tanto

${\overrightarrow {OI}}_{20}={\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

Reducción cinemática

Directamente

Velocidad

La velocidad de C la podemos hallar derivando el vector de posición en un sistema de referencia “0” ligado a la manivela. Tomando como eje $OX_{0}$ el que va a lo largo de la manivela, el vector de posición relativo es

${\vec {r}}_{20}^{C}={\overrightarrow {OC}}=|{\overrightarrow {OC}}|{\vec {\imath }}_{0}={\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}$

Derivando en esta expresión

${\vec {v}}_{20}^{C}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{20}^{C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}$

Nótese que, según el enunciado, ${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}$, de donde se puede deducir que ${\dot {\theta }}=\Omega$. Por tanto, debe entenderse que en todos los resultados de este ejercicio ${\dot {\theta }}$ puede ser sustituido por $\Omega$.

Velocidad angular

Puesto que conocemos la posición del CIR $I_{20}$ podemos hallar la velocidad angular empleando la relación

${\vec {v}}_{20}^{C}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{20}C}}$

El vector de posición relativo desde el CIR va en la dirección del eje $OY_{0}$ y tiene por módulo el cateto opuesto de un triángulo rectángulo

${\overrightarrow {I_{20}C}}=|{\overrightarrow {OI_{20}}}|\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{0}={\frac {R}{\cos(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}$

Por tanto,

$-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}=\omega _{20}{\vec {k}}\times \left({\frac {R}{\cos(\theta )}}{\vec {\jmath }}_{0}\right)=-{\frac {\omega _{20}R}{\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}$

Despejando

$\omega _{20}={\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

Expresión de la reducción cinemática

Reuniendo los dos resultados obtenemos la reducción cinemática

$\left\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{C}\right\}=\left\{{\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {k}},-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{0}\right\}$

Empleando la base ligada al sólido “1”, esto queda

$\left\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{C}\right\}=\left\{{\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {k}},-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1})\right\}=\left\{{\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {k}},-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}\right\}$

Por composición de movimientos

Velocidad

Alternativamente, podemos obtener la velocidad de C empleando la fórmula de composición de velocidades

${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {v}}_{21}^{C}+{\vec {v}}_{10}^{C}={\vec {v}}_{21}^{C}-{\vec {v}}_{01}^{C}$

La velocidad en el movimiento {01} corresponde a una rotación alrededor de O

${\vec {v}}_{01}^{C}=\omega _{01}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OC}}$

siendo su velocidad angular

$\omega _{01}={\dot {\theta }}$

y el vector de posición

${\overrightarrow {OC}}=|{\overrightarrow {OC}}|\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)=R{\frac {\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}+R{\vec {\jmath }}_{1}$

lo que nos da la velocidad

${\vec {v}}_{01}^{C}=R{\dot {\theta }}\left(-{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}\right)$

La velocidad de C en el movimiento {21} la podemos hallar derivando la posición en el sistema “1”, que conocemos en todo momento

${\vec {v}}_{21}^{C}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {OC}})\right|_{1}=-{\frac {R{\dot {\theta }}}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

Resulta una velocidad horizontal como corresponde a que el punto C se desplaza paralelamente al eje $OX_{1}$.

Componiendo las dos velocidades

${\vec {v}}_{20}^{C}=-{\frac {R{\dot {\theta }}}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}-R{\dot {\theta }}\left(-{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}\right)=-R{\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}-R{\dot {\theta }}{\frac {\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}$

Velocidad angular

Igualmente, podemos hallar la velocidad angular del movimiento {20} como

$\omega _{20}=\omega _{21}-\omega _{01}\,$

siendo

$\omega _{01}={\dot {\theta }}$

La velocidad angular del movimiento {21} la podemos hallar a partir de la velocidad de C

${\vec {v}}_{21}^{C}=\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{21}C}}=\omega _{21}{\vec {k}}\times (R{\vec {\jmath }}_{1})=-R\omega _{21}{\vec {\imath }}_{1}$

Igualando esta expresión a la velocidad lineal calculada anteriormente y despejando queda

$\omega _{21}={\frac {\dot {\theta }}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

Llevando esto a la fórmula de composición de velocidades angulares, llegamos a

$\omega _{20}={\frac {\dot {\theta }}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}-{\dot {\theta }}={\frac {{\dot {\theta }}\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

Reuniendo la velocidad y la velocidad angular nos queda la misma reducción cinemática que ya expresamos anteriormente.

Tipo de movimiento

Cuando $\theta =\pi /2$, la reducción cinemática se reduce a

$\left\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{C}\right\}=\left.\left\{{\dot {\theta }}\,{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}{\vec {k}},-{\frac {R{\dot {\theta }}\cos(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1})\right\}\right|_{\theta =\pi /2}=\{{\vec {0}},{\vec {0}}\}$

y por tanto el disco se encuentra instantáneamente en reposo respecto a la manivela.