Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)

Enunciado

Una barra de longitud $2d$ está articulada en su punto central en el punto fijo $O$. El extremo $A$ se conecta al punto fijo $C$ por un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. Una fuerza ${\vec {F}}=F_{0}\,{\vec {\imath }}$, con $F_{0}>0$, se aplica en el punto $B$. No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.

1. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo $\theta$.
2. Si el ángulo es tal que $\,\mathrm {sen} \,{\theta }=3/5$ y $\cos \theta =4/5$, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en $O$ (en la base de los ejes de la figura)

Solución

Posición de equilibrio

Con el Principio de los Trabajos Virtuales

Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son la fuerza aplicada en $B$ y la fuerza que el muelle ejerce en $A$. El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) dice que, para que haya equilibrio, en cualquier desplazamiento virtual debe cumplirse

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}+{\vec {F}}_{k}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}=0.$

Calculemos cada uno de esos términos. El sistema tiene un grado de libertad: $\{\theta \}$. Así pues, un desplazamiento virtual arbitrario es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta\theta\}} .

Para la fuerza en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_B}{\partial\theta}\right)\delta\theta = (d\cos\theta\,\vec{\imath} - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta. }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B = F_0d\cos\theta\delta\theta. }

La fuerza del muelle sobre el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra viene dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{F}_k & = -k\overrightarrow{CA} =kd\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - kd(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \\ & \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\ & \qquad \overrightarrow{OA} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\ & \qquad \overrightarrow{OC} = -d\,\vec{\jmath}_1. \end{array} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_A = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_A}{\partial\theta}\right)\delta\theta = (-d\cos\theta\,\vec{\imath} + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta. }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = -kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta. }

Por tanto la condición de equilibrio es, para todo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta} ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (F_0d\cos\theta - kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\delta\theta = 0 \Longrightarrow \tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}. }

Con el Principio de las Potencias Virtuales

En esta caso necesitamos la reducción cinemática del movimiento de la barra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O} = \vec{0}. }

El Principio dice que, en cualquier desplazamiento virtual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\dot{\theta}^*\}} , debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\vec{v}^{\,*}_B + \vec{F}_k\cdot\vec{v}^{\,*}_A=0. }

Las velocidades que necesitamos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\,*}_B = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = (d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*,\\ \vec{v}^{\,*}_A = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = (-d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^* \end{array} }

Aplicando el PPV llegamos a la misma condición que en el caso anterior.

Con la energía potencial

Otra forma de hacerlo es usando la energía potencial. La acción del muelle puede describirse con la energía potencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k = \dfrac{1}{2}k\,|\overrightarrow{AC}|^2 = kd^2(1-\cos\theta). }

La acción de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} se describe con una fuerza generalizada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_B}{\partial \theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}_B}{\partial \dot{\theta}} = F_0d\cos\theta }

La condición de equilibrio es

${\dfrac {\partial U_{k}}{\partial \theta }}=Q_{\theta }^{NC}\Longrightarrow \tan \theta ={\dfrac {F_{0}}{kd}}.$

Fuerza vincular en $O$

La fuerza vincular en $O$ garantiza que se cumpla el vínculo ${\vec {v}}_{O}={\vec {0}}$. Por tanto debe tener dos componentes (es un sistema plano)

${\vec {O}}=O_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+O_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por tanto, tenemos que aplicar el Principio de Liberación dos veces.

Componente $O_{x}$

Liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse horizontalmente. Ahora hay dos grados de libertad: $\{x_{O},\theta \}$ y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma $\{\delta x_{O},\delta \theta \}$. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza ${\vec {O}}_{x}=O_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}$ que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}+{\vec {F}}_{k}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}+{\vec {O}}_{x}\cdot \delta {\vec {r}}_{O}=0.$

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

$\delta \theta =0,\qquad \delta x_{O}=\delta x\Longrightarrow \delta {\vec {r}}_{B}=\delta {\vec {r}}_{A}=\delta {\vec {r}}_{O}=\delta x\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Aplicando el PTV llegamos a

$(F_{0}+kd\mathrm {sen} \,\theta +O_{x})\delta x=0\quad (\forall \delta x)\Longrightarrow O_{x}=-kd\,\mathrm {sen} \,\theta -F_{0}.$

Usando el valor de $\theta$ dado por el enunciado tenemos finalmente

$O_{x}=-{\dfrac {3}{5}}kd-F_{0}.$

Componente $O_{y}$

Ahora liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse verticalmente. Los dos grados de libertad son: $\{y_{O},\theta \}$ y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma $\{\delta y_{O},\delta \theta \}$. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza ${\vec {O}}_{y}=O_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}$ que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}+{\vec {F}}_{k}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}+{\vec {O}}_{y}\cdot \delta {\vec {r}}_{O}=0.$

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

$\delta \theta =0,\qquad \delta y_{O}=1\Longrightarrow \delta {\vec {r}}_{B}=\delta {\vec {r}}_{A}=\delta {\vec {r}}_{O}={\vec {\jmath }}_{1}.$

Aplicando el PTV llegamos a

$-kd\,(1-\cos \theta )+O_{y}=0\Longrightarrow O_{y}=kd\,(1-\cos \theta ).$

Usando el valor de $\theta$ dado por el enunciado tenemos finalmente

$O_{y}={\dfrac {1}{5}}kd.$