Energía potencial lineal a tramos (Ex.Dic/11)

Enunciado

Una partícula de masa $m=1\,\mathrm {kg}$ se mueve a lo largo del eje OX, sometida a la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial es la de la gráfica. En el instante inicial se encuentra en $x=4\,\mathrm {m}$ moviéndose en el sentido positivo del eje OX con celeridad $v_{0}=2\,\mathrm {m/s}$ .

1. Halle la energía mecánica de la partícula.
2. Se detiene en algún punto, ¿en cuál? Una vez que retorna, ¿dónde se vuelve a detener?
3. Halle la fuerza sobre la partícula, así como su aceleración, en los dos puntos de retorno.
4. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula entre cada punto de retorno y $x=2\,\mathrm {m}$?
5. Suponga que la masa se ve sometida adicionalmente a una fuerza de rozamiento que la va frenando hasta detenerla por completo. ¿Dónde se detiene finalmente? ¿Cuánta energía mecánica se ha disipado desde el instante inicial hasta el instante en que la partícula se detiene definitivamente?

Energía mecánica

Se trata de un movimiento rectilíneo conservativo. La energía mecánica $E\,$ (suma de la energía cinética y la energía potencial) es constante en el tiempo. La calculamos evaluándola en el instante inicial:

$E={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+U_{(x=4\,\mathrm {m} )}=2\,\mathrm {J} +(-1\,\mathrm {J} )=1\,\mathrm {J}$

Puntos de retorno

Los puntos de retorno son aquellos puntos en los que la celeridad de la partícula se anula instantáneamente. En ellos tiene lugar además una inversión del sentido del movimiento de la partícula. Corresponden a los valores de $x\,$ para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante (igual a 1 J en este caso). Observamos en la gráfica que existen dos puntos de retorno:

$x_{1}=-4\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}=5\,\mathrm {m}$

Dado que se nos indica que en el instante inicial la partícula se halla en $x=4\,\mathrm {m}$ moviéndose en el sentido positivo del eje OX, es obvio que primero se alcanzará el punto de retorno que hemos llamado $x_{2}\,$, y posteriormente el llamado $x_{1}\,$.

Fuerza y aceleración en los puntos de retorno

En el caso unidimensional que nos ocupa, la fuerza que soporta la partícula en cada posición coincide con la pendiente de la curva de energía potencial cambiada de signo. Por tanto, podemos evaluar fácilmente la fuerza en los dos puntos de retorno:

$F_{1}=F_{(x=x_{1})}=-\left.{\frac {dU}{dx}}\right|_{x=x_{1}}=1\,\mathrm {N} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F_{2}=F_{(x=x_{2})}=-\left.{\frac {dU}{dx}}\right|_{x=x_{2}}=-2\,\mathrm {N}$

Pero en realidad $F_{1}\,$ (o $F_{2}\,$) es la componente-x de la fuerza (la única componente que existe en este caso unidimensional). Así que, vectorialmente:

${\vec {F}}_{1}=F_{1}\,{\vec {\imath }}=({\vec {\imath }}\,)\,\mathrm {N} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {F}}_{2}=F_{2}\,{\vec {\imath }}=(-2\,{\vec {\imath }}\,)\,\mathrm {N}$

Y, conforme a la segunda ley de Newton, la aceleración se obtiene dividiendo la fuerza por la masa ($m=\,$1 kg):

${\vec {a}}_{1}={\frac {{\vec {F}}_{1}}{m}}=({\vec {\imath }}\,)\,\mathrm {m/s} ^{2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{2}={\frac {{\vec {F}}_{2}}{m}}=(-2\,{\vec {\imath }}\,)\,\mathrm {m/s} ^{2}$

Tipo de movimiento

Entre cada punto de retorno y el punto $x=2\,\mathrm {m}$ observamos que la "curva" de energía potencial es una recta (pendiente constante). Así que, en cada uno de esos dos tramos, la fuerza es constante, y por tanto la aceleración también es constante, resultando que el movimiento rectilíneo es uniformemente acelerado.

Caso con rozamiento: dónde se detiene finalmente la partícula y energía mecánica disipada

En caso de que exista una fuerza de rozamiento, la energía mecánica de la partícula irá disminuyendo a lo largo del tiempo por conversión en energía calorífica. En tal caso, la representación gráfica de la energía mecánica deja de ser una recta horizontal. El descenso paulatino del nivel de energía mecánica da lugar a que los puntos de retorno (intersección de las curvas de energía mecánica y energía potencial) se vayan acercando entre sí cada vez más. Y al final la partícula se detendrá definitivamente (se quedará sin energía cinética de forma permanente) en la posición correspondiente al mínimo de energía potencial ($U=-5\,\mathrm {J}$), es decir, en $x=2\,\mathrm {m}$.

Y, desde el instante inicial hasta el instante en que la partícula se ha detenido definitivamente, se habrán disipado 6 julios de energía mecánica:

$\Delta E=E_{f}-E_{i}=-5\,\mathrm {J} -1\,\mathrm {J} =-6\,\mathrm {J}$