Rapidez de los puntos de un tornillo

Enunciado

Un tornillo de radio 2 mm y paso de rosca 1 mm avanza impulsado por un destornillador de forma que su punta se mueve a 2 mm/s. Determine la rapidez de los puntos del filete del tornillo.

Solución

El tornillo realiza un movimiento helicoidal permanente. La rapidez de los puntos del filete es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_P| = \sqrt{v_d^2+\omega^2 d^2}}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d} la velocidad de avance del tornillo (2 mm/s), Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} es la distancia del filete al eje del tornillo (2 mm) y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} es la velocidad angular, que aun no conocemos.

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} lo sacamos de que los puntos del filete describen una hélice, de forma que en el tiempo que dan una vuelta avanzan el paso de rosca Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} (1 mm). Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2\pi}{\omega} = \frac{b}{v_d}\qquad \Rightarrow\qquad\omega = \frac{2\pi v_d}{b}=4\pi\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

lo que nos da la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_P| = \sqrt{2^2+(4\pi)^2\times 2^2}\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}} = 25.2\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}}

Vemos que la velocidad de estos puntos es mucho mayor que la de avance, y es que recorren una distancia mucho mayor que si se movieran en línea recta.