Enunciado
Partícula en aro con diferentes métodos
Se tiene un aro circular de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} contenido en un plano vertical. Engarzado en él hay una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.
- Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuación de movimiento de la masa usando el Principio de D'Alembert.
- Repite el primer apartado usando la energía cinética y fuerzas generalizadas.
- Repite el primer apartado usando la Función de Lagrange.
- Repite el primer apartado usando el Prinicipio de Liberación.
- Repite el primer apartado usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
- Consideremos ahora que el vínculo entre la partícula y el aro es rugoso, con un coeficiente de rozamiento dinámico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . Determina las ecuaciones de movimiento usando el Principio de Liberación.
Solución
Principio de D'Alembert
Primero identificamos el número de grados de libertad. La partícula está sometida a dos vínculos. Usando coordenadas cilíndricas estos vínculos se expresan
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = R, \qquad z=0. }
Por tanto, la partícula tiene un grado de libertad. Vamos a usar la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } para trabajar. Los vectores de posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = R\,\vec{u}_{r},\\ \vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\ \vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}. \end{array} }
La única fuerza aplicada es el peso, como se indica en la figura. Proyectándolo cilíndricas tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_m = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta}. }
El Principio de D'Alembert establece que, en cualquier desplazamiento virtual, debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{P}_m - m\vec{a})\cdot\delta\vec{r} = 0. }
Como sólo hay un grado de libertad, el desplazamiento virtual mas general es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r} = \left(\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial\theta}\right)\,\delta\theta = R\,\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta}\,\delta\theta = R\delta\theta\,\vec{u}_{\theta}. }
Recordemos que en coordenadas cilíndricas se tiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta} = \vec{u}_{\theta}, \qquad \dfrac{\partial\vec{u}_{\theta}}{\partial\theta} = -\vec{u}_{r}. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_m - m\vec{a} = m(g\cos\theta - R\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r - m(g\mathrm{sen}\,\theta + R\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}. }
Aplicando el Principio de D'Alembert, obtenemos la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. }
Con la energía cinética
Al haber sólo un grado de libertad, hay una sola ecuación de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = Q_{\theta}. }
La energía cinética es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta}, \\ \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = 0. \end{array} }
La fuerza generalizada es debida a la acción del peso. Es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{\theta} = \vec{P}_m\cdot\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta. }
Finalmente, la ecuación de movimiento es, nuevamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. }
Con la función de Lagrange
Al ser el peso una fuerza conservativa, podemos asignarle una energía potencial. Tomando como altura de referencia el centro del aro, tenemos
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La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - U = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + mgR\cos\theta. }
La ecuación de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = 0. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta}, \\ \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta. \end{array} }
Por tanto la ecuación de movimiento es, de nuevo
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