Triciclo (MR G.I.C.)

Enunciado

El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{AB}} (sólido "2", masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l=2a} , centro de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} ) contenida en el plano horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} y obligada a moverse de modo que su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} tiene una velocidad apuntando a $B$, mientras que la velocidad de $B$ se mantiene siempre paralela al eje $OX_{1}$. Se propone trabajar con las coordenadas generalizadas $\{x,y,\theta \}$ indicadas en la figura.

1. Demuestra que las condiciones de movimiento implican las siguientes ecuaciones de ligadura para los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} : $\{a_{1}\operatorname {sen} \theta {\dot {x}}+a_{2}\cos \theta {\dot {y}}+a_{3}{\dot {\theta }}=0;\,b_{1}{\dot {x}}+b_{2}{\dot {y}}+b_{3}{\dot {\theta }}\cos \theta =0\}$, donde $\{a_{i},b_{i}\}$ son constantes a determinar.
2. Desarrolla las ecuaciones de Lagrange con ligaduras correspondientes al sistema mecánico.
3. Calcula los valores de las fuerzas vinculares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{A}, \vec{B}\}} responsables de las ligaduras del primer apartado en función de los multiplicadores de Lagrange del problema.

Solución

Reducción cinemática

El vector rotación es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}. }

La velocidad en el centro de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}\,\vec{\jmath}_1. }

Ligaduras

La ligadura en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } implica que la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} } tiene que ser paralela al vector ${\overrightarrow {AB}}$. Este vector es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = 2a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2a\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1. }

Usando el teorema de Chasles a partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G } la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GA} = (\dot{x} + a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1, }

donde hemos usado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GA} = -a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 } .

Por tanto la ligadura puede aplicarse exigiendo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0} \Longrightarrow \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0. }

Esta es una ligadura cinemática no integragble, es decir, es no holónoma.

La ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } implica que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1. }

Usando el teorema de Chasles desde $G$ tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB} = (\dot{x} - a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1, }

donde hemos usado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GB} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 } .

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1 \Longrightarrow \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0. }

Esta ligadura es cinemática integrable, es decir es holónoma.

Como hay dos ligaduras y es un movimiento plano, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Lo que es curioso en este problema es, que aunque la ligadura en $A$ es, por si sola, no holónoma, combinada con la ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } sí que se puede integrar. Es decir el problema es holónomo. Sin embargo, esta integración es complicada. Por ello, aunque el sistema puede tiene sólo un grado de libertad, vamos a trabajar con las tres coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x, y, \theta \} } . Usaremos multiplicadores de Lagrange para poder utlizar las dos coordenadas extras respecto al número de grados de libertad.

Función de Lagrange

Energía cinética

Modelando el triciclo como una barra de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a } y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } , su energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2. \qquad (I = ma^2/3) }

El peso no afecta en este problema, pues el centro de masas del triciclo no cambia de altura. Por tanto podemos escoger como energía potencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = 0 }

La función de Lagrange es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - U = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2. }

Ecuaciones de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Por cada vínculo hay que añadir un multiplicador de Lagrange. Tenemos

${\begin{array}{lcl}g_{1}={\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dot {y}}\cos \theta +a{\dot {\theta }}=0&\Longrightarrow &\mu _{1}.\\g_{2}={\dot {y}}+a{\dot {\theta }}\cos \theta =0&\Longrightarrow &\mu _{2}.\end{array}}$

Ecuaciones

Tenemos una ecuación de Lagrange por cada coordenada. Para $x$ tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial x} = \mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{x}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{x}}. }

Las derivadas parciales que introducen los multiplicadores de Lagrange se hacen respecto a la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x} } porque los vínculos son cinemáticos.

La ecuación resultante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\ddot{x} = \mu_1\,\mathrm{sen}\,\theta \qquad. (1) }

Hacemos lo mismo para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y } . Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}=\mu _{1}\,{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial {\dot {y}}}}+\mu _{2}\,{\dfrac {\partial g_{2}}{\partial {\dot {y}}}}.$

La ecuación resultante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\ddot{y} = -\mu_1\cos\theta + \mu_2 \qquad. (2) }

Por último, para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = \mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{\theta}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{\theta}}. }

La ecuación resultante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\ddot{\theta} = \mu_1 a + \mu_2 a\cos\theta \qquad. (3) }

Tenemos 5 incógnitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x, y, \theta. \mu_1, \mu_2 \} } . Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0, & (4) \\ \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0. & (5) \end{array} }

Resolución usando el Principio de liberación