Sistema de cuatro condensadores (GIOI)

Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=30\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=60\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=120\,\mathrm{nF}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_4=40\,\mathrm{nF}} . La diferencia de potencial entre A y B es de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 12\,\mathrm{V}} .

1. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E?
2. Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.
3. Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Interruptor abierto

Con el interruptor abierto el sistema consiste en una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie.

Cargas y potenciales

Los condensadores 1 y 2, de la rama superior, están en serie, por ello, la carga en ambos es la misma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=Q_2\,}

mientras que las d.d.p. se suman

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A-V_B = (V_A - V_D)+(V_D - V_B) = \frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2}=Q_1 \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)}

poniendo números obtenemos para la inversa de la capacidad equivalente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{30\,\mathrm{nF}}+\frac{1}{60\,\mathrm{nF}}=\frac{1}{20\,\mathrm{nF}}}

lo que nos da la carga de ambos condensadores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=Q_2= C_{12}(V_A-V_B)=20\,\mathrm{nF}\cdot 12\,\mathrm{V}=240\,\mathrm{nC}}

y la diferencia de potencial en cada condensador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1 = \frac{Q_1}{C_1}=\frac{240}{30}\,\mathrm{V}=8\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = \frac{Q_2}{C_2}=\frac{240}{60}\,\mathrm{V}=4\,\mathrm{V}}

De la misma manera, operamos para la rama inferior. De nuevo, las cargas son iguales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_3=Q_4\,}

y las d.d.p. se suman

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A-V_B = (V_A - V_E)+(V_E - V_B) = \frac{Q_3}{C_3}+\frac{Q_4}{C_4}=Q_3 \left(\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}\right)}

siendo ahora la inversa de la capacidad equivalente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}=\frac{1}{120\,\mathrm{nF}}+\frac{1}{40\,\mathrm{nF}}=\frac{1}{30\,\mathrm{nF}}}

lo que nos da la carga de ambos condensadores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_3=Q_4= C_{34}(V_A-V_B)=30\,\mathrm{nF}\cdot 12\,\mathrm{V}=360\,\mathrm{nC}}

y la diferencia de potencial en cada condensador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_3 = \frac{Q_3}{C_3}=\frac{360}{120}\,\mathrm{V}=3\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_4 = \frac{Q_4}{C_4}=\frac{360}{40}\,\mathrm{V}=9\,\mathrm{V}}

Lectura del voltímetro

Una vez que tenemos las diferencias de potencial en cada condensador, calculamos la d.d.p. en la rama central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_D - V_E = (V_D - V_B) - (V_E - V_B) = 4\,\mathrm{V}-9\,\mathrm{V}=-5\,\mathrm{V}}

Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada sumando la de los cuatro condensadores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1\,\Delta V_1+\frac{1}{2}Q_2\,\Delta V_2+\frac{1}{2}Q_3\,\Delta V_3+\frac{1}{2}Q_4\,\Delta V_4}

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}240\cdot 8+\frac{1}{2}240\cdot 4+\frac{1}{2}360\cdot 3+\frac{1}{2}360\cdot 9 = 3600\,\mathrm{nJ}=3.6\,\mu\mathrm{J}}

También podemos llegar a este resultado considerando el sistema como un solo condensador de capacidad equivalente la suma de la de las dos ramas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_\mathrm{eq}=20\,\mathrm{nF}+30\,\mathrm{nF}=50\,\mathrm{nF}}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e = \frac{1}{2}50\cdot(12)^2=3.6\,\mu\mathrm{J}}

Interruptor cerrado

Cuando se cierra el interruptor se produce una redistribución de carga entre los condensadores, ya que ahora los nodos D y E se ponen al mismo potencial. Ahora el sistema se convierte en una asociación en serie de dos asociaciones en paralelo.

Cargas y potenciales

Aunque se redistribuye la carga, su valor total en el conductor central (unión de D y E) sigue siendo nula, ya que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 + 0 = 0} . Esto nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -Q_1-Q_3+Q_2+Q_4 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad Q_1+Q_3=Q_2+Q_4}

Por otro lado, los condensadores 1 y 3 ahora están en paralelo y lo mismo pasa con el 2 y el 4

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1 = \Delta V_3\qquad\qquad \Delta V_2 = \Delta V_4}

Llevando esto a la relación anterior nos queda

$(C_{1}+C_{3})\Delta V_{1}=(C_{2}+C_{4})\Delta V_{4}$

Sustituimos los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (30+120)\Delta V_1 = (60+40)\Delta V_2 \qquad \Rightarrow\qquad 3\Delta V_1=2\Delta V_2}

Por otro lado, la suma de las d.d.p. en 1 y 2 nos da la d.d.p. total

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lo que resulta en

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1 = \Delta V_3=\frac{2}{5}12\,\mathrm{V}=4.8\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_2 = \Delta V_4=\frac{3}{5}12\,\mathrm{V}=7.2\,\mathrm{V}}

Las cargas en cada condensador valen ahora

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1=C_1\,\Delta V_1=30\cdot 4.8 = 144\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=C_2\,\Delta V_2=60\cdot 7.2 = 432\,\mathrm{nC}} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_3=C_3\,\Delta V_3=120\cdot 4.8 = 576\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_4=C_4\,\Delta V_4=40\cdot 7.2 = 288\,\mathrm{nC}}

Energía almacenada

La energía almacenada es diferente a la inicial

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Vemos que la energía almacenada ha aumentado en

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Podemos preguntarnos de dónde ha salido.

La carga en los condensadores 1 y 3, conectados al nodo A, unido a la fuente que fija el voltaje en 12V, ha aumentado. Con el interruptor abierto esta carga era

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y con el interruptor cerrado es

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Esto quiere decir que la fuente de tensión ha realizado un trabajo

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Este trabajo no coincide con el incremento de la energía almacenada. Es el doble, la razón de que no coincidan es que también se genera calor en el proceso

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Este calor se genera por la aparición de corrientes eléctricas durante el proceso de recombinación de la carga.