Engranaje concéntrico

Enunciado

Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio $a$ (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio $b$. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular $\Omega$ respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje $OX_{1}\,$.

1. Determine las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{31}$, ${\vec {\omega }}_{41}$ y ${\vec {\omega }}_{51}$.
2. ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

Velocidades angulares

Movimiento {31}

Podemos hallar la velocidad angular en el movimiento {31} a partir de la velocidad lineal de dos puntos del sólido “3” en este movimiento.

Lo más sencillo es tomar como uno de ellos el centro instantáneo de rotación. Puesto que se nos dice que el disco 3 rueda sin deslizar sobre el anillo exterior 1, el CIR $I_{31}$ no es otro que el punto de contacto del disco con el anillo, que denominaremos P.

$I_{31}=P\,$

Empleando un sistema cartesiano centrado en el sistema

${\overrightarrow {OP}}=b{\vec {\imath }}\,\,;\qquad {\vec {v}}_{31}^{P}={\vec {0}}$

Consideremos ahora el punto A de contacto entre el disco 2 y el 3. Este punto tiene una posición relativa respecto al CIR {31}

${\overrightarrow {PA}}=-(b-a){\vec {\imath }}$

Puesto que se nos dice que el disco 3 también rueda sin deslizar sobre el 2, se cumple

${\vec {v}}_{32}^{A}={\vec {0}}$

y por tanto

${\vec {v}}_{31}^{A}=\overbrace {{\vec {v}}_{32}^{A}} ^{_{\vec {0}}}+{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}$

La velocidad lineal de A en el movimiento 21 es una rotación alrededor del centro del sistema

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}=(\Omega {\vec {k}})\times (a{\vec {\imath }})=\Omega a{\vec {\jmath }}$

Por tanto

$\Omega a{\vec {\jmath }}={\vec {v}}_{31}^{A}={\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {PA}}=(\omega _{31}{\vec {k}})\times (-(b-a){\vec {\imath }})=-(b-a)\omega _{31}{\vec {\jmath }}$

Igualando componentes, despejamos la velocidad angular

$\omega _{31}=-{\frac {\Omega a}{b-a}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {\omega }}_{31}=-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}$

Obsérvese que el disco 3 gira en sentido opuesto al 2. Aunque su centro se mueva describiendo una circunferencia en torno al centro del sistema en sentido antihorario, su rotación alrededor de sí mismo es en sentido horario (respecto a unos ejes fijos ligados al sólido 1).

Movimiento {41}

El cálculo de la velocidad angular del movimiento {41} es completamente análogo.

El CIR del movimiento {41} es de nuevo el punto de contacto del disco con el anillo exterior, que llamaremos Q,

$I_{41}=Q\,\,;$    ${\overrightarrow {OQ}}=-b{\vec {\imath }}\,\,;\qquad {\vec {v}}_{41}^{Q}={\vec {0}}$

Consideramos ahora el punto B de contacto entre el disco 2 y el 4. Su posición relativa respecto al CIR {41}

${\overrightarrow {QB}}=(b-a){\vec {\imath }}$

El disco 4 también rueda sin deslizar sobre el 2, por lo que se cumple

${\vec {v}}_{42}^{B}={\vec {0}}$

y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{B}_{41} = \overbrace{\vec{v}^B_{42}}^{_\vec{0}}+\vec{v}^B_{21} = \vec{v}^B_{21}}

La velocidad lineal de B en el movimiento 21 es, como en A, una rotación alrededor del centro del sistema

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OB}}=(\Omega {\vec {k}})\times (-a{\vec {\imath }})=-\Omega a{\vec {\jmath }}$

Por tanto

$-\Omega a{\vec {\jmath }}={\vec {v}}_{41}^{B}={\vec {\omega }}_{41}\times {\overrightarrow {QB}}=(\omega _{41}{\vec {k}})\times ((b-a){\vec {\imath }})=(b-a)\omega _{41}{\vec {\jmath }}$

Obtenemos la nueva velocidad angular

$\omega _{41}=-{\frac {\Omega a}{b-a}}\qquad {\vec {\omega }}_{41}=-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}$

Vemos que el disco 4 gira con la misma velocidad angular que el 3.

Movimiento {51}

La barra 5 realiza un movimiento de rotación en torno al punto O, centro del sistema, pero su velocidad angular no tiene por qué ser la misma del disco 2. De hecho, no lo es.

Suponiendo que no estamos seguros de que el centro de la barra sea el CIR {51} (ya que no se nos dice nada del movimiento de este punto), podemos emplear otros dos puntos para hallar la velocidad angular.

Sea C el centro del disco 3. Puesto que la barra está articulada en ese punto

${\vec {v}}_{53}^{C}={\vec {0}}$

y por tanto

${\vec {v}}_{51}^{C}=\overbrace {{\vec {v}}_{53}^{C}} ^{_{\vec {0}}}+{\vec {v}}_{31}^{C}={\vec {v}}_{31}^{C}={\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {PC}}$

Sustituyendo el vector de posición relativa y la velocidad angular

${\vec {v}}_{51}^{C}=\left(-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}\right)\times \left(-{\frac {b-a}{2}}{\vec {\imath }}\right)={\frac {\Omega a}{2}}{\vec {\jmath }}$

Operando del mismo modo para el punto D, centro del disco 4 obtenemos

${\vec {v}}_{51}^{D}=\overbrace {{\vec {v}}_{54}^{D}} ^{_{\vec {0}}}+{\vec {v}}_{41}^{D}={\vec {v}}_{41}^{D}={\vec {\omega }}_{41}\times {\overrightarrow {QD}}=\left(-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}\right)\times \left({\frac {b-a}{2}}{\vec {\imath }}\right)=-{\frac {\Omega a}{2}}{\vec {\jmath }}$

Ya tenemos la velocidad de dos puntos. La velocidad angular la obtenemos de la expresión del campo de velocidades

${\vec {v}}_{51}^{D}={\vec {v}}_{51}^{C}+{\vec {\omega }}_{51}\times {\overrightarrow {CD}}$

siendo el vector de posición relativa

${\overrightarrow {CD}}=-2{\frac {a+b}{2}}{\vec {\imath }}=-(a+b){\vec {\imath }}$

y por tanto

$-2{\frac {\Omega a}{2}}{\vec {\jmath }}=(\omega _{51}{\vec {k}})\times (-(a+b){\vec {\imath }})=-(a+b)\omega _{51}{\vec {\jmath }}$

llegando finalmente a la velocidad angular

$\omega _{51}={\frac {\Omega a}{a+b}}\qquad {\vec {\omega }}_{51}={\frac {\Omega a}{a+b}}{\vec {k}}$

Vemos que la velocidad angular de la barra nunca coincide con la del disco central. Así, para $b=2a$ resulta que la barra gira a un tercio de la velocidad angular del disco (cuando la barra da una vuelta, el disco ha dado tres).

Movimiento {34}

Para ver qué tipo de movimiento describe el disco 3 respecto al 4, hallamos en primer lugar la velocidad angular relativa

${\vec {\omega }}_{34}={\vec {\omega }}_{31}-{\vec {\omega }}_{41}=\left(-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}\right)-\left(-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}\right)={\vec {0}}$

La velocidad angular es nula. Por tanto, el movimiento relativo es de traslación o de reposo.

Hallamos la velocidad de un punto cualquiera de 3 respecto de 4 (todos tendrán la misma velocidad). Por simplicidad consideramos el CIR $P=I_{31}$. Para este punto

${\vec {v}}_{34}^{P}=\overbrace {{\vec {v}}_{31}^{P}} ^{={\vec {0}}}-{\vec {v}}_{41}^{P}=-{\vec {\omega }}_{41}\times {\overrightarrow {I_{41}P}}$

Sustituyendo la velocidad angular y la posición relativa

${\vec {v}}_{34}^{P}=-\left(-{\frac {\Omega a}{b-a}}{\vec {k}}\right)\times (2b{\vec {\imath }})={\frac {2ab\Omega }{b-a}}{\vec {\jmath }}$

Puesto que esta velocidad no es nula, concluimos que el movimiento relativo es de traslación instantánea, con velocidad de traslación

${\vec {v}}_{34}^{tras}={\frac {2ab\Omega }{b-a}}{\vec {\jmath }}$