El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R}
, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1}
de la escuadra fija Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1}
(sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}
) y sin deslizar sobre éste. Se pide:
Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}}
.
Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}
, es decir: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{A}_{20}}
.
Reducciones cinemáticas
Movimiento {21}
La barra “2” efectúa un movimiento de traslación respecto al sólido “1”, por lo que la velocidad angular de este movimiento es nula y la velocidad de traslación es la misma para todos los puntos, en particular el centro del disco, O.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{0}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21}=v_0\vec{\imath}_1}
Movimiento {01}
Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CO}}
La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto A, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\overbrace{\vec{v}^A_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^A_{21}=v_0\vec{\imath}_1}
La velocidad de este punto cumple igualmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CA}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1}
Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}}
y la velocidad del punto O
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1}
Movimiento {20}
Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\overbrace{\omega_{20}}^{=0}-\omega_{01}=\frac{v_0}{2R}}
y para la lineal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1}
Aceleración
La aceleración de A la podemos hallar mediante la composición de movimientos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}
de donde, despejando,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{20}=\vec{a}^A_{21}-\vec{a}^A_{01}-2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}
El movimiento {21} del punto A es una traslación a velocidad constante, por lo que su aceleración es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=\frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_1 = \vec{0}}
La aceleración en el movimiento {01} no puede calcularse derivando, porque el punto A es una partícula material diferente en cada instante. Aplicamos la reducción en O del campo de aceleraciones, por ser O un punto material perfectamente definido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\alpha_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}}
La aceleración de O es nula, por ser el movimiento de este punto rectilíneo y uniforme
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1\right) = \vec{0}}
También es nula la aceleración angular, por ser la velocidad angular constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{01}=\frac{\mathrm{d}\omega_{01}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(-\frac{v_0}{2R}\right)=0}
Queda solo el último término
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{01}=-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}=-\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1}
El término de Coriolis se anula, por ser el contacto una rodadura sin deslizamiento en ese punto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}\times\vec{0}=\vec{0}}
lo que nos deja finalmente con
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{20}=-\vec{a}^A_{01}=\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1}
