Disco en manivela ranurada

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio $R$ y centro $C$ (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $OX_{1}$; y una manivela ranurada $OA$ (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto $O$ y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje $OZ_{1}$). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

1. Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
2. Utilizando como parámetro geométrico el ángulo $\theta$ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ),{\vec {v}}_{20}^{\,C}(\theta )\}$.
3. Clasificar el movimiento {20} en el instante en que $\theta =\pi /2$ especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

Posición del CIR

Por el teorema de los tres centros, el CIR $I_{20}$ debe estar alineado con el $I_{21}$ y el $I_{01}$.

Por tratarse de una rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento {21} es el punto de contacto de la rueda con el eje horizontal.

El CIR del movimiento {01} es el punto O, de articulación de la manivela con el eje.

Por estar alineado con estos dos, el CIR del movimiento {20} debe encontrarse sobre el eje horizontal $OX_{1}$. Queda por determinar dónde exactamente.

El vínculo de que el centro C del disco se encuentre sobre la manivela obliga a que la velocidad del punto C en el movimiento {20} sea necesariamente a lo largo de ésta. Puesto que el CIR se encuentra sobre la recta que pasa por C y es perpendicular a la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{C}$ basta con trazar la perpendicular a la manivela en C. El punto donde esta recta corta al eje $OX_{1}$ es el CIR $I_{20}$.

El vector de posición de este punto será de la forma

${\overrightarrow {OI}}_{20}=x{\vec {\imath }}_{1}$

El valor de $x$ lo obtenemos aplicando trigonometría. El segmento $OI_{20}$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto contiguo es $OC$. Por tanto

$x=\left|{\overrightarrow {OI}}_{20}\right|={\frac {|{\overrightarrow {OC}}|}{\cos(\theta )}}$

A su vez OC es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide R, el radio del disco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{OC}\right| = \frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}}

Por tanto

${\overrightarrow {OI}}_{20}={\frac {R}{\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta )}}{\vec {\imath }}_{1}$

Reducción cinemática

Directamente

Velocidad

La velocidad de C la podemos hallar derivando el vector de posición en un sistema de referencia “0” ligado a la manivela. Tomando como eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} el que va a lo largo de la manivela, el vector de posición relativo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}|\vec{\imath}_0 = \frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\imath}_0}

Derivando en esta expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OC})\right|_0 = -\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0}

Velocidad angular

Puesto que conocemos la posición del CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} podemos hallar la velocidad angular empleando la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}C}}

El vector de posición relativo desde el CIR va en la dirección del eje $OY_{0}$ y tiene por módulo el cateto opuesto de un triángulo rectángulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{I_{20}C}=|\overrightarrow{OI_{20}}|\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0 = \frac{R}{\cos(\theta)}\vec{\jmath}_0}

Por tanto,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0 = \omega_{20}\vec{k}\times\left(\frac{R}{\cos(\theta)}\vec{\jmath}_0\right)=-\frac{\omega_{20}R}{\cos(\theta)}\vec{\imath}_0}

Despejando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}}

Expresión de la reducción cinemática

Reuniendo los dos resultados obtenemos la reducción cinemática

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0\right\}}

Empleando la base ligada al sólido “1”, esto queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1)\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1\right\}}

Por composición de movimientos

Velocidad

Alternativamente, podemos obtener la velocidad de C empleando la fórmula de composición de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\vec{v}^C_{21}+\vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{21}-\vec{v}^C_{01}}

La velocidad en el movimiento {01} corresponde a una rotación alrededor de O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}}

siendo su velocidad angular

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y el vector de posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}|\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right) = R\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\imath}_1+R\vec{\jmath}_1}

lo que nos da la velocidad

${\vec {v}}_{01}^{C}=R{\dot {\theta }}\left(-{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\cos(\theta )}{\mathrm {sen} (\theta )}}{\vec {\jmath }}_{1}\right)$

La velocidad de C en el movimiento {21} la podemos hallar derivando la posición en el sistema “1”, que conocemos en todo momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OC})\right|_1 = -\frac{R\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1}

Resulta una velocidad horizontal como corresponde a que el punto C se desplaza paralelamente al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} .

Componiendo las dos velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}= -\frac{R\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1 - R\dot{\theta}\left(-\vec{\imath}_1+\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1\right) = -R\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1-R\dot{\theta}\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1}

Velocidad angular

Igualmente, podemos hallar la velocidad angular del movimiento {20} como

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siendo

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La velocidad angular del movimiento {21} la podemos hallar a partir de la velocidad de C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}C}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_1)=-R\omega_{21}\vec{\imath}_1}

Igualando esta expresión a la velocidad lineal calculada anteriormente y despejando queda

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Llevando esto a la fórmula de composición de velocidades angulares, llegamos a

$\omega _{20}={\frac {\dot {\theta }}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}-{\dot {\theta }}={\frac {{\dot {\theta }}\cos ^{2}(\theta )}{\mathrm {sen} ^{2}(\theta )}}$

Reuniendo la velocidad y la velocidad angular nos queda la misma reducción cinemática que ya expresamos anteriormente.

Tipo de movimiento

Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/2} , la reducción cinemática se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left.\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1)\right\}\right|_{\theta=\pi/2}=\{\vec{0},\vec{0}\}}

y por tanto el disco se encuentra instantáneamente en reposo respecto a la manivela.