Sistema de cuatro condensadores (GIOI)

Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=30\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=60\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=120\,\mathrm{nF}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_4=40\,\mathrm{nF}} . La diferencia de potencial entre A y B es de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 12\,\mathrm{V}} .

1. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E?
2. Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.
3. Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Interruptor abierto

Con el interruptor abierto el sistema consiste en una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie.

Cargas y potenciales

Los condensadores 1 y 2, de la rama superior, están en serie, por ello, la carga en ambos es la misma

$Q_{1}=Q_{2}\,$

mientras que las d.d.p. se suman

$V_{A}-V_{B}=(V_{A}-V_{D})+(V_{D}-V_{B})={\frac {Q_{1}}{C_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{C_{2}}}=Q_{1}\left({\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}\right)$

poniendo números obtenemos para la inversa de la capacidad equivalente

${\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{30\,\mathrm {nF} }}+{\frac {1}{60\,\mathrm {nF} }}={\frac {1}{20\,\mathrm {nF} }}$

lo que nos da la carga de ambos condensadores

$Q_{1}=Q_{2}=C_{12}(V_{A}-V_{B})=20\,\mathrm {nF} \cdot 12\,\mathrm {V} =240\,\mathrm {nC}$

y la diferencia de potencial en cada condensador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1 = \frac{Q_1}{C_1}=\frac{240}{30}\,\mathrm{V}=8\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = \frac{Q_2}{C_2}=\frac{240}{60}\,\mathrm{V}=4\,\mathrm{V}}

De la misma manera, operamos para la rama inferior. De nuevo, las cargas son iguales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_3=Q_4\,}

y las d.d.p. se suman

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A-V_B = (V_A - V_E)+(V_E - V_B) = \frac{Q_3}{C_3}+\frac{Q_4}{C_4}=Q_3 \left(\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}\right)}

siendo ahora la inversa de la capacidad equivalente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}=\frac{1}{120\,\mathrm{nF}}+\frac{1}{40\,\mathrm{nF}}=\frac{1}{30\,\mathrm{nF}}}

lo que nos da la carga de ambos condensadores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_3=Q_4= C_{34}(V_A-V_B)=30\,\mathrm{nF}\cdot 12\,\mathrm{V}=360\,\mathrm{nC}}

y la diferencia de potencial en cada condensador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_3 = \frac{Q_3}{C_3}=\frac{360}{120}\,\mathrm{V}=3\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_4 = \frac{Q_4}{C_4}=\frac{360}{40}\,\mathrm{V}=9\,\mathrm{V}}

Lectura del voltímetro

Una vez que tenemos las diferencias de potencial en cada condensador, calculamos la d.d.p. en la rama central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_D - V_E = (V_D - V_B) - (V_E - V_B) = 4\,\mathrm{V}-9\,\mathrm{V}=-5\,\mathrm{V}}

Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada sumando la de los cuatro condensadores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1\,\Delta V_1+\frac{1}{2}Q_2\,\Delta V_2+\frac{1}{2}Q_3\,\Delta V_3+\frac{1}{2}Q_4\,\Delta V_4}

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}240\cdot 8+\frac{1}{2}240\cdot 4+\frac{1}{2}360\cdot 3+\frac{1}{2}360\cdot 9 = 3600\,\mathrm{nJ}=3.6\,\mu\mathrm{J}}

También podemos llegar a este resultado considerando el sistema como un solo condensador de capacidad equivalente la suma de la de las dos ramas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_\mathrm{eq}=20\,\mathrm{nF}+30\,\mathrm{nF}=50\,\mathrm{nF}}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_e = \frac{1}{2}50\cdot(12)^2=3.6\,\mu\mathrm{J}}