Sistema de cuatro condensadores (GIOI)

Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: $C_{1}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{2}=60\,\mathrm {nF}$, $C_{3}=120\,\mathrm {nF}$ y $C_{4}=40\,\mathrm {nF}$. La diferencia de potencial entre A y B es de $12\,\mathrm {V}$.

1. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E?
2. Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.
3. Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Interruptor abierto

Con el interruptor abierto el sistema consiste en una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie.

Cargas y potenciales

Los condensadores 1 y 2, de la rama superior, están en serie, por ello, la carga en ambos es la misma

$Q_{1}=Q_{2}\,$

mientras que las d.d.p. se suman

$V_{A}-V_{B}=(V_{A}-V_{D})+(V_{D}-V_{B})={\frac {Q_{1}}{C_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{C_{2}}}=Q_{1}\left({\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}\right)$

poniendo números obtenemos para la inversa de la capacidad equivalente

${\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{30\,\mathrm {nF} }}+{\frac {1}{60\,\mathrm {nF} }}={\frac {1}{20\,\mathrm {nF} }}$

lo que nos da la carga de ambos condensadores

$Q_{1}=Q_{2}=C_{12}(V_{A}-V_{B})=20\,\mathrm {nF} \cdot 12\,\mathrm {V} =240\,\mathrm {nC}$

y la diferencia de potencial en cada condensador

$\Delta V_{1}={\frac {Q_{1}}{C_{1}}}={\frac {240}{30}}\,\mathrm {V} =8\,\mathrm {V} \qquad \qquad \Delta V_{2}={\frac {Q_{2}}{C_{2}}}={\frac {240}{60}}\,\mathrm {V} =4\,\mathrm {V}$

De la misma manera, operamos para la rama inferior. De nuevo, las cargas son iguales

$Q_{3}=Q_{4}\,$

y las d.d.p. se suman

$V_{A}-V_{B}=(V_{A}-V_{E})+(V_{E}-V_{B})={\frac {Q_{3}}{C_{3}}}+{\frac {Q_{4}}{C_{4}}}=Q_{3}\left({\frac {1}{C_{3}}}+{\frac {1}{C_{4}}}\right)$

siendo ahora la inversa de la capacidad equivalente

${\frac {1}{C_{3}}}+{\frac {1}{C_{4}}}={\frac {1}{120\,\mathrm {nF} }}+{\frac {1}{40\,\mathrm {nF} }}={\frac {1}{30\,\mathrm {nF} }}$

lo que nos da la carga de ambos condensadores

$Q_{3}=Q_{4}=C_{34}(V_{A}-V_{B})=30\,\mathrm {nF} \cdot 12\,\mathrm {V} =360\,\mathrm {nC}$

y la diferencia de potencial en cada condensador

$\Delta V_{3}={\frac {Q_{3}}{C_{3}}}={\frac {360}{120}}\,\mathrm {V} =3\,\mathrm {V} \qquad \qquad \Delta V_{4}={\frac {Q_{4}}{C_{4}}}={\frac {360}{40}}\,\mathrm {V} =9\,\mathrm {V}$

Lectura del voltímetro

Una vez que tenemos las diferencias de potencial en cada condensador, calculamos la d.d.p. en la rama central

$V_{D}-V_{E}=(V_{D}-V_{B})-(V_{E}-V_{B})=4\,\mathrm {V} -9\,\mathrm {V} =-5\,\mathrm {V}$

Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada sumando la de los cuatro condensadores

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}Q_{1}\,\Delta V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}\,\Delta V_{2}+{\frac {1}{2}}Q_{3}\,\Delta V_{3}+{\frac {1}{2}}Q_{4}\,\Delta V_{4}$

lo que nos da

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}240\cdot 8+{\frac {1}{2}}240\cdot 4+{\frac {1}{2}}360\cdot 3+{\frac {1}{2}}360\cdot 9=3600\,\mathrm {nJ} =3.6\,\mu \mathrm {J}$

También podemos llegar a este resultado considerando el sistema como un solo condensador de capacidad equivalente la suma de la de las dos ramas

$C_{\mathrm {eq} }=20\,\mathrm {nF} +30\,\mathrm {nF} =50\,\mathrm {nF}$

lo que da

$U_{e}={\frac {1}{2}}50\cdot (12)^{2}=3.6\,\mu \mathrm {J}$