Cálculo de entropía en fusión de hielo

Enunciado

Calcule la variación de entropía del sistema, del entorno y del universo para los procesos descritos en el problema “Mezcla de agua y hielo”.

Solución

Introducción

En el problema mencionado se analizan dos casos:

• Se mezclan 100 g de hielo a 0℃ con 1 kg de agua a 20℃
• Se mezcla 1 kg de hielo a 0℃ con 1 kg de agua a 20℃.

En el primer caso se obtiene que se derrite todo el hielo y el resultado final es 1250 g de agua a 11℃.

En el segundo caso se obtiene que solo de funden 251 g del hielo, quedando al final 1251 g de hielo y 749 g de agua, todo a 0℃.

100 g de hielo

Al bajar la temperatura del agua, desciende su entropía, mientras que la del hielo aumenta.

La variación de entropía de un sólido o líquido cuya temperatura cambia gradualmente es

$\Delta S=\int _{T_{1}}^{T}{\frac {\delta Q^{\mathrm {rev} }}{T}}=\int _{T_{1}}^{T}{\frac {mc\,\mathrm {d} T}{T}}=mc\ln \left({\frac {T}{T_{1}}}\right)$

con valor numérico

$\Delta S_{a}=1.0\times 4.18\times \ln \left({\frac {284}{293}}\right)\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=-0.132\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Para el hielo debemos considerar dos contribuciones: una debida al cambio de fase y otra asociada al calentamiento hasta la temperatura final.

El cambio de fase es un proceso isotermo, por lo que

$\Delta S_{h1}={\frac {m_{2}\,\Delta h_{f}}{T_{f}}}={\frac {0.100\times 334}{273}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=+0.122\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

y para el calentamiento posterior empleamos la misma fórmula que para el enfriamiento del agua

$\Delta S_{h2}=m_{2}c\ln \left({\frac {T}{T_{f}}}\right)=0.100\times 4.18\times \ln \left({\frac {284}{273}}\right)\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=+0.016\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Sumando las dos contribuciones, la variación de entropía del hielo es

$\Delta S_{h}=+0.139\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

y la variación de entropía del sistema

$\Delta S=\Delta S_{a}+\Delta S_{h}=+0.007\,\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Un kilogramo de hielo

En el segundo caso, no todo el hielo se transforma en agua y la temperatura final del agua templada es la del punto de fusión.

La variación de entropía del agua inicialmente a 20°C es

$\Delta S_{a}=1.0\times 4.18\times \ln \left({\frac {273}{293}}\right)\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=-0.296\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Para el hielo solo debemos considerar la variación de entropía debida a la fusión parcial. Teniendo en cuenta que se derriten 251g de hielo

$\Delta S_{h}={\frac {m\,\Delta h_{f}}{T_{f}}}={\frac {0.251\times 334}{273}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=+0.307\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

y la variación total de entropía es ahora

$\Delta S=\Delta S_{a}+\Delta S_{h}=+0.011\,\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$