Enunciado
Calcule la variación de entropía del sistema, del entorno y del universo para los procesos descritos en el problema “Mezcla de agua y hielo”.
Solución
Introducción
En el problema mencionado se analizan dos casos:
- Se mezclan 100 g de hielo a 0℃ con 1 kg de agua a 20℃
- Se mezcla 1 kg de hielo a 0℃ con 1 kg de agua a 20℃.
En el primer caso se obtiene que se derrite todo el hielo y el resultado final es 1250 g de agua a 11℃.
En el segundo caso se obtiene que solo de funden 251 g del hielo, quedando al final 1251 g de hielo y 749 g de agua, todo a 0℃.
100 g de hielo
Al bajar la temperatura del agua, desciende su entropía, mientras que la del hielo aumenta.
La variación de entropía de un sólido o líquido cuya temperatura cambia gradualmente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S = \int_{T_1}^{T}\frac{\delta Q^\mathrm{rev}}{T} = \int_{T_1}^{T}\frac{mc\,\mathrm{d}T}{T}=mc\ln\left(\frac{T}{T_1}\right)}
con valor numérico
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_a = 1.0\times 4.18\times\ln\left(\frac{284}{293}\right)\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-0.132\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Para el hielo debemos considerar dos contribuciones: una debida al cambio de fase y otra asociada al calentamiento hasta la temperatura final.
El cambio de fase es un proceso isotermo, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_{h1}=\frac{m_2\,\Delta h_f}{T_f}=\frac{0.100\times 334}{273}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=+0.122\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
y para el calentamiento posterior empleamos la misma fórmula que para el enfriamiento del agua
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_{h2} = m_2c\ln\left(\frac{T}{T_f}\right) = 0.100\times 4.18\times\ln\left(\frac{284}{273}\right)\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=+0.016\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Sumando las dos contribuciones, la variación de entropía del hielo es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_h = +0.139\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
y la variación de entropía del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S = \Delta S_a+\Delta S_h = +0.007\,\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Un kilogramo de hielo
En el segundo caso, no todo el hielo se transforma en agua y la temperatura final del agua templada es la del punto de fusión.
La variación de entropía del agua inicialmente a 20°C es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_a = 1.0\times 4.18\times\ln\left(\frac{273}{293}\right)\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-0.296\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Para el hielo solo debemos considerar la variación de entropía debida a la fusión parcial. Teniendo en cuenta que se derriten 251g de hielo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_{h}=\frac{m\,\Delta h_f}{T_f}=\frac{0.251\times 334}{273}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=+0.307\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
y la variación total de entropía es ahora
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