Enunciado
Calcule la variación de entropía del sistema, del entorno y del universo para los procesos descritos en el problema “Trabajo en una compresión por un peso”.
Introducción
En este problema tenemos cuatro variantes del mismo sistema, que son muy similares en apariencia, pero difieren en detalles cruciales que provocan que los resultados sean distintos en cada uno de los casos.
Los cálculos analíticos del trabajo y calor en estos cuatro procesos se calculan en el problema “Trabajo en una compresión por un peso”
En todos los casos tenemos inicialmente un gas en un estado A en el que ocupa un cierto volumen a una cierta presión y temperatura iguales a las del ambiente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A = p_0 = 100\,\mathrm{kPa}\qquad V_A = S h_0 = 160\,\mathrm{cm}^3\qquad T_A = 300\,\mathrm{K}}
Asimismo, en las cuatro situaciones se añade una pesa que incrementa la presión sobre el gas a un valor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = p_0+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}}
La temperatura y volumen final, en cambio, dependen del proceso que consideremos.
Compresión isoterma irreversible
En el primer caso, el recipiente no está aislado del exterior, por lo que una vez se deja caer la pesa y se alcanza de nuevo el equilibrio, su temperatura final es igual a la inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = T_A = 300\,\mathrm{K}}
Puesto que tenemos la presión y la temperatura tenemos automáticamente el volumen, por la ley de los gases ideales (o, en este caso particular, la ley de Boyle)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_BV_B = p_AV_A \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{p_AV_A}{p_B}= 128\,\mathrm{cm}^3}
En términos de la nueva altura del pistón
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_B = \frac{p_A h_A}{p_B}=8\,\mathrm{cm}}
Para calcular la variación de entropía tenemos que hallar por separado la del sistema y la del ambiente.
El ambiente es un foco térmico a temperatura constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0}
. Su variación de entropía es la correspondiente a un proceso isotermo reversible
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S _\mathrm{amb}= \frac{Q_\mathrm{amb}}{T_0}}
El calor que entra en el ambiente es el mismo que sale del sistema
A su vez el calor que sale del sistema lo da el primer principio de la termodinámica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{out,sis}=-\Delta U + W_\mathrm{in,sis}\,}
Por ser un proceso de un gas ideal en el que la temperatura final es igual a la inicial, su variación de energía interna es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = 0\,}
mientras que el trabajo se halla a partir de la integral de la presión exterior, que es constante (e igual a la final)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in,sis} = -\int_A^B p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)=-125\,\mathrm{kPa}\times(0.128-0.160)\mathrm{L}=+4.00\,\mathrm{J}}
(los decimales finales resultan de hacer los cálculos exactos, con g = 9.81N/kg, aunque en su presentación se redondeen los resultados a tres cifras significativas). Es decir, en el sistema entran unos 4 julios en forma de trabajo, que no son almacenados, sino que vuelven a salir en forma de calor, entregando entropía al ambiente.
Por tanto, la variación de entropía del ambiente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=\frac{3.92\,\mathrm{J}}{300\,\mathrm{K}}=+13.1\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
La fórmula anterior no nos vale para el cálculo de la variación de entropía del propio gas. No sabemos si la temperatura del sistema ha permanecido constante. Lo único que sabemos es que su temperatura inicial y final es la misma, pero en medio puede haber cambiado, incluso de forma no uniforme (calentándose algunos puntos más que otros).
Para hallar la variación de entropía del sistema podemos:
- imaginar un proceso reversible que lleve del estado inicial al mismo estado final.
- aplicar que la entropía es una función de estado y por tanto solo necesitamos conocer su valor final y su valor inicial.
El segundo método solo es aplicable cuando conocemos la entropía como función de las variables de estado. Para el caso de un gas ideal esto es posible. En función de la temperatura y la presión, la variación de entropía es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S = S_B-S_A=nc_p\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)}
Puesto que la temperatura final es la misma que la inicial el primer término se cancela y queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis} = -\frac{p_AV_A}{T_A}\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)=-\frac{10^5\times 160\times 10^{-6}}{300}\ln\left(\frac{1.25}{1.0}\right)\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-11.7\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
Vemos que no hay problema en que la variación de entropía del sistema sea negativa. Lo que debe ser positiva o nula es la variación de entropía del universo entero.
Sumando las dos contribuciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=(-11.7+13.1)\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}} = +1.37\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
La variación de entropía del universo es estrictamente positiva, como corresponde a un proceso irreversible.
Compresión isoterma reversible
En el segundo caso, la presión y la temperatura finales son los mismos que en el primer caso
y por ello el volumen final también es el mismo que en el primer caso:
Puesto que el estado inicial es el mismo que en todos los casos y el estado final coincide con el el apartado anterior, la variación de entropía del sistema (que depende sólo de los estados) es la misma que allí
Para el ambiente la expresión general sigue siendo la misma
pero el calor que entra en el ambiente es diferente del de antes, ya que el trabajo realizado sobre el gas no es el mismo
Por tratarse de un proceso isotermo cuasiestático
por lo que la variación de entropía del ambiente es ahora
Aplicando las propiedades de los logaritmos vemos que esta variación de entropía es igual en magnitud y de signo opuesto a la del sistema, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=(-11.7+11.7)\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}} = 0\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
Aun que la variación de entropía del sistema es distinta de cero (negativa incluso), la del universo es nula, lo que nos indica que el proceso es reversible.
Compresión adiabática irreversible
En el tercer caso, el recipiente está aislado térmicamente. Por tanto, en el ambiente no entra ni sale calor y
La variación de entropía del sistema, en cambio, no es nula, ya que el proceso es irreversible. Es más, por el principio del aumento de entropía, debe resultar una variación positiva.
Para calcular la variación de entropía del sistema debemos conocer su estado final. Este no es el mismo que el dos los dos apartados anteriores, ya que en este caso la temperatura cambia. Al estar aislado del exterior, no se pone en equilibrio térmico con éste.
Obtenemos el estado final a partir del primer principio de la termodinámica. Puesto que el proceso es adiabático
El trabajo que entra en el sistema, al ser la presión externa constante, vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_B(V_B-V_A)\,}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B}
es desconocido. La variación de la energía interna es, por su parte,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v\,\Delta T = \frac{nR(T_B-T_A)}{\gamma-1}=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}}
Igualando y despejando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -p_B(V_B-V_A) = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}\qquad\Rightarrow\qquad V_B = \left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A}
El valor numérico del nuevo volumen, teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma = 1.4}
para el aire, es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = 137.5\,\mathrm{cm}^3\qquad\qquad h = 8.59\,\mathrm{cm}}
El pistón baja menos que en el caso anterior. La nueva temperatura final la obtenemos de la ley de los gases ideales
La temperatura del gas aumenta en 21°C.
La variación de entropía del sistema es ahora
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=nc_p\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)}
El segundo término es el mismo de los apartados anteriores, pero el primero ya no es nulo, sino que vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle nc_p\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)=\frac{\gamma n R}{\gamma-1}\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)=\frac{\gamma p_AV_A}{(\gamma-1)T_A}\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)=+12.6\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
siendo la variación total de entropía del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=\left(12.6-11.7\right)\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}=+0.9\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
que de nuevo es positiva, por ser un proceso irreversible.
La condición de que la entropía debe aumentar nos establece un valor mínimo para la temperatura final. debe ser
Compresión adiabática reversible
En el último caso, tenemos de nuevo un proceso adiabático. No se intercambia calor con el ambiente y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=\frac{Q_\mathrm{in,amb}}{T_\mathrm{amb}}=0}
Para el sistema, el cálculo sigue la misma lógica que el del apartado anterior, pero hay que ir grano a grano, es decir, en forma diferencial,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta Q = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \delta W = \mathrm{d}U \qquad\Rightarrow\qquad -p\,\mathrm{d}V = nc_v\,\mathrm{d}T}
Aplicando la ley de los gases ideales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -p\,\mathrm{d}V = \frac{nR\,\mathrm{d}T}{\gamma -1} = \frac{\mathrm{d}(pV)}{\gamma-1} = \frac{\mathrm{d}p\,V+p\,\mathrm{d}V}{\gamma-1}}
Si aquí agrupamos los términos obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{p}+\gamma\frac{\mathrm{d}V}{V}=0}
y una vez integrada nos da la ley de Poisson
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Despejamos de aquí el nuevo volumen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A\left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma} = 160\left(\frac{100}{125}\right)^{1/1.4}\,\mathrm{cm}^3 = 136.8\,\mathrm{cm}^3\qquad\qquad h_B=\frac{V_B}{S}=8.55\,\mathrm{cm}}
Vemos que se comprime un poco más que antes.
La nueva temperatura final del gas vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=319\,\mathrm{K}}
y se calienta un poco menos que en el caso anterior.
La variación de entropía del sistema es ahora
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=nc_p\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right) = \frac{\gamma p_AV_A}{(\gamma-1)T_A}\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)-\frac{p_AV_A}{T_A}\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)}
El segundo término vuelve a valer lo mismo que en los casos anteriores
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mientras que el primero vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\gamma p_AV_A}{(\gamma-1)T_A}\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)= +11.7\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
de forma que
Puesto que la variación de entropía del ambiente es nula, obtenemos que la entropía del universo permance constante y el proceso es reversible.
En general, un proceso adiabático cuasiestático de un sistema es isentrópico.
Podíamos haber llegado directamente a este resultado observando que en función de la presión y el volumen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=nc_v\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)+nc_p\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)=nc_v\left(\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)+\gamma\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\right)=0}
Vemos que la isentropía se deduce de la ley de Poisson y viceversa.
Comparación
