Enunciado
Considere un prisma vertical de 4 cm de lado que contiene aire. El cilindro contiene un pistón que inicialmente está a 10 cm de altura. La temperatura del gas inicialmente es de 300 K, que también es la temperatura ambiente y la presión exterior es de 100 kPa.
Calcule la variación en la entropía del gas, del entorno y del universo en los cuatro siguientes procesos:
- Se coloca bruscamente una pesa de 4 kg encima del émbolo y las paredes son diatermas.
- Se colocan progresivamente 4 kg de arena, grano a grano y las paredes son diatermas.
- Se coloca bruscamente una pesa de 4 kg encima del émbolo y las paredes son adiabáticas.
- Se colocan progresivamente 4 kg de arena, grano a grano y las paredes son adiabáticas.
Introducción
En este problema tenemos cuatro variantes del mismo sistema, que son muy similares en apariencia, pero difieren en detalles cruciales que provocan que los resultados sean distintos en cada uno de los casos.
Los cálculos analíticos del trabajo y calor en estos cuatro procesos se consideran además en el problema “Trabajo en una compresión por un peso”
En todos los casos tenemos inicialmente un gas en un estado A en el que ocupa un cierto volumen a una cierta presión y temperatura iguales a las del ambiente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A = p_0 = 100\,\mathrm{kPa}\qquad V_A = S h_0 = 160\,\mathrm{cm}^3\qquad T_A = 300\,\mathrm{K}}
Asimismo, en las cuatro situaciones se añade una pesa que incrementa la presión sobre el gas a un valor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = p_0+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}}
(aproximando g por 10 m/s²). La temperatura y volumen final, en cambio, dependen del proceso que consideremos.
Compresión isoterma irreversible
En el primer caso, el recipiente no está aislado del exterior, por lo que una vez se deja caer la pesa y se alcanza de nuevo el equilibrio, su temperatura final es igual a la inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = T_A = 300\,\mathrm{K}}
Puesto que tenemos la presión y la temperatura tenemos automáticamente el volumen, por la ley de los gases ideales (o, en este caso particular, la ley de Boyle)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_BV_B = p_AV_A \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{p_AV_A}{p_B}= 128\,\mathrm{cm}^3}
En términos de la nueva altura del pistón
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_B = \frac{p_A h_A}{p_B}=8\,\mathrm{cm}}
Para calcular la variación de entropía tenemos que hallar por separado la del sistema y la del ambiente.
El ambiente es un foco térmico a temperatura constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0}
. Su variación de entropía es la correspondiente a un proceso isotermo reversible
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S _\mathrm{amb}= \frac{Q_\mathrm{amb}}{T_0}}
El calor que entra en el ambiente es el mismo que sale del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{in,amb}=Q_\mathrm{out,sis}\,}
A su vez el calor que sale del sistema lo da el primer principio de la termodinámica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{out,sis}=-\Delta U + W_\mathrm{in,sis}\,}
Por ser un proceso isotermo de un gas ideal, su variación de energía interna es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = 0\,}
mientras que el trabajo se halla a parte de la integral de la presión exterior, que es constante (e igual a la final)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in,sis} = -\int_A^B p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)=-125\,\mathrm{kPa}\times(0.128-0.160)\mathrm{L}=+4.00\,\mathrm{J}}
Es decir, en el sistema entran 4 julios en forma de trabajo, que no son almacenados, sino que vuelven a salir en forma de calor, entregando entropía al ambiente.
Por tanto, la variación de entropía del ambiente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=\frac{+4.00\,\mathrm{J}}{300\,\mathrm{K}}=+13.3\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
La fórmula anterior no nos vale para el cálculo de la variación de entropía del propio gas. No sabemos si la temperatura del sistema ha permanecido constante. Lo único que sabemos es que su temperatura inicial y final es la misma, pero en medio puede haber cambiado, incluso de forma no uniforme (calentándose algunos puntos más que otros).
Para hallar la variación de entropía del sistema podemos:
- imaginar un proceso reversible que lleve del estado inicial al mismo estado final.
- aplicar que la entropía es una función de estado y por tanto solo necesitamos conocer su valor final y su valor inicial.
El segundo método solo es aplicable cuando conocemos la entropía como función de las variables de estado. Para el caso de un gas ideal esto es posible.
Un proceso reversible sería una compresión isoterma cuasiestática (el montón de arena) que lleva del mismo estado inicial al final. En este proceso la energía interna del gas es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}U=0\qquad\Rightarrow\qquad \delta Q=-\delta W = p\,\mathrm{d}V=\frac{p_A V_A}\,\frac{\mathrm{d}V}{V}}
y la variación diferencial de entropía del sistema es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}S_\mathrm{sis}=\frac{\delta Q}{T}=\frac{p_A V_A}{T_A}\,\frac{\mathrm{d}V}{V}}
Si integramos aquí desde el estado inicial al final queda
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Vemos que no hay problema en que la variación de entropía del sistema sea negativa. Lo que debe ser positiva o nula es la variación de entropía del universo entero.
Sumando las dos contribuciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=(-11.9+13.3)\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}} = +1.43\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
La variación de entropía del universo es estrictamente positiva, como corresponde a un proceso irreversible.
Compresión isoterma reversible
En el segundo caso, la presión y la temperatura finales son los mismos que en el primer caso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_B = T_A = 300\,\mathrm{K}}
y por ello el volumen final también es el mismo que en el primer caso:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_BV_B = p_AV_A \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{p_AV_A}{p_B}= 128\,\mathrm{cm}^3}
Puesto que el estado inicial es el mismo que en todos los casos y el estado final coincide con el el apartado anterior, la variación de entropía del sistema (que depende sólo de los estados) es la misma que allí
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis} = \frac{p_AV_A}{T_A}\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)=-11.9\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
Para el ambiente la expresión general sigue siendo la misma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=\frac{Q_\mathrm{in,amb}}{T_\mathrm{amb}}}
pero el calor que entra en el ambiente es diferente del de antes, ya que el trabajo realizado sobre el gas no es el mismo
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Por tratarse de un proceso isotermo cuasiestático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in,sis}=-p_AV_A\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}
por lo que la variación de entropía del ambiente es ahora
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{p_AV_A}{T_A}\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}
Vemos que esta variación de entropía es igual en magnitud y de signo opuesto a la del sistema, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=(-11.9+11.9)\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}} = 0\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
Aunque la variación de entropía del sistema es distinta de cero (negativa incluso), la del universo es nula, lo que nos indica que el proceso es reversible.
Compresión adiabática irreversible
En el tercer caso, el recipiente está aislado térmicamente. Por tanto, en el ambiente no entra ni sale calor y
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La variación de entropía del sistema, en cambio, no es nula, ya que el proceso es irreversible. Es más, por el principio del aumento de entropía, debe resultar una variación positiva.
Para calcular la variación de entropía del sistema debemos conocer su estado final. Este no es el mismo que el dos los dos apartados anteriores, ya que en este caso la temperatura cambia. Al estar aislado del exterior, no se pone en equilibrio térmico con éste.
Obtenemos el estado final a partir del primer principio de la termodinámica. Puesto que el proceso es adiabático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = 0\qquad\Rightarrow\qquad W = \Delta U}
El trabajo que entra en el sistema, al ser la presión externa constante, vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_B(V_B-V_A)\,}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B}
es desconocido. La variación de la energía interna es, por su parte,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v\,\Delta T = \frac{nR(T_B-T_A)}{\gamma-1}=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}}
Igualando y despejando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -p_B(V_B-V_A) = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}\qquad\Rightarrow\qquad V_B = \left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A}
El valor numérico del nuevo volumen, teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma = 1.4}
para el aire, es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = 137.1\,\mathrm{cm}^3\qquad\qquad h = 8.59\,\mathrm{cm}}
El pistón baja menos que en el caso anterior. La nueva temperatura final la obtenemos de la ley de los gases ideales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=321\,\mathrm{K}}
La temperatura del gas aumenta en 21°C.
La variación de entropía del sistema la podemos calcular imaginando un proceso reversible. Existen varias posibilidades. Una de ellas consiste en imaginar un enfriamiento a presión constante hasta que el volumen se reduce al volumen final, seguido de un calentamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado final B. Sea C el estado intermedio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_C=p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad v_C=V_B=137.5\,\mathrm{cm}^3}
La variación de entropía en el primer paso es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_1=\int_A^C\frac{\delta Q}{T}=\int_A^C\frac{n c_p\delta T}{T}=nc_p\ln(\frac{T_C}{T_A})}
y en el segundo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_2=\int_C^B\frac{\delta Q}{T}=\int_C^B\frac{n c_v\delta T}{T}=nc_v\ln(\frac{T_B}{T_C})}
lo que da la variación total de la entropía del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis} = nc_p\ln(\frac{T_C}{T_A})+nc_v\ln(\frac{T_B}{T_C})}
Para poner esto en función de los datos del problema tenemos, en primer lugar, que
Por otro lado, al ser el proceso A→C a presión constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{T_C}{T_A}=\frac{V_C}{V_A}=\frac{V_B}{V_A}}
y por ser C→B a volumen constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{T_B}{T_C}=\frac{p_B}{p_C}=\frac{p_B}{p_A}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=nc_p\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)}
Reuniendo todo esto obtenemos la expresión para la variación de entropía del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=\frac{p_A V_A}{(\gamma-1)T_A}\left(\gamma\ln\left(\frac{v_B}{V_A}\right)+\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)\right)}
Nótese que este resultado es general, sean cuales sean los estados inicial y final del gas ideal, ésta es su variación de entropía.
En nuestro caso resulta
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que de nuevo es positiva, por ser un proceso irreversible.
Compresión adiabática reversible
En el último caso, tenemos de nuevo un proceso adiabático. No se intercambia calor con el ambiente y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=\frac{Q_\mathrm{in,amb}}{T_\mathrm{amb}}=0}
Para el sistema, el cálculo sigue la misma lógica que el del apartado anterior. El volumen ahora lo da la ley de Poisson
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma \qquad\Rightarrow\qquad V_B = V_A\left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma} = 136.4\,\mathrm{cm}^3}
La nueva temperatura final del gas vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=319\,\mathrm{K}}
y se calienta un poco menos que en el caso anterior.
Para la variación de entropía del sistema es ahora, podemos emplear la misma fórmula que antes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=\frac{p_A V_A}{(\gamma-1)T_A}\left(\gamma\ln\left(\frac{v_B}{V_A}\right)+\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)\right)}
Observemos que aquí podemos agrupar los logaritmos y escribir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis}=\frac{p_A V_A}{(\gamma-1)T_A}\ln\left(\frac{p_Bv_B^\gamma}{p_AV_A^\gamma}\right)}
y, puesto que se cumple la ley de Poisson, el resultado Es
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y, dado que la variación de entropía del ambiente también es nula, por ser el proceso adiabático
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}==0.0\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}}
Puesto que la variación de entropía del ambiente es nula, obtenemos que la entropía del universo permance constante y el proceso es reversible.
En general, un proceso adiabático cuasiestático de un sistema es isentrópico.
