Caso de coeficiente de dilatación

Enunciado

En las proximidades de 20℃ la densidad de una sustancia sigue la gráfica lineal de la figura. ¿Cuánto vale el coeficiente de dilatación volumétrica a 20℃, en $(\,^{\circ }{}\mathrm {C} )^{-1}$?

Solución

El coeficiente de dilatación volumétrica se puede calcular de forma aproximada como

$\beta =-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}\simeq -{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\Delta \rho }{\Delta T}}$

A 20℃ el valor de la densidad es

$\rho (20\,^{\circ }{}\mathrm {C} )=2650\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

Para hallar la derivada calculamos la pendiente de la recta. Tomamos dos puntos de la cuadrícula y resulta

${\frac {\Delta \rho }{\Delta T}}={\frac {2649-2650}{25-5}}\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}\,^{\circ }{}\mathrm {C} }}=-0.2\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}\,^{\circ }{}\mathrm {C} }}$

lo que nos da el coeficiente de dilatación

$\beta =-{\frac {-0.2}{2650}}(\,^{\circ }\mathrm {C} )^{-1}=75\times 10^{-6}(\,^{\circ }\mathrm {C} )^{-1}$