Coches frenando en una autopista

Enunciado

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad $v_{0}$ y separados por una distancia $d_{0}$. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo $a_{0}$ hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo $t_{f}$ en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.

1. Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
2. Si $t_{f}=0.30\,\mathrm {s}$, $v_{0}=120\,\mathrm {km/h}$ y $a_{0}=1.50\,\mathrm {m/s^{2}}$, calcula el valor mínimo de $d_{0}$ para que los coches no colisionen.

Solución

El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia $d_{0}$. En ese instante el coche que va delante (representado por $P_{2}$) empieza a frenar con aceleración constante $a_{0}$. El coche que va detras ($P_{1}$) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante $t=t_{f}$. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje $X$ la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración $-a_{0}$, su velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y su posición inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_0} . Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2 \to \left\{ \begin{array}{l} v_2 = v_0 - a_0 t\\ \\ x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2 \end{array} \right. }

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<t<t_f} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>t_f} . En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1 \to \left\{ \begin{array}{l} v_1 = \left\{ \begin{array}{ll} v_0 & 0<t\leq t_f\\ v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f \end{array} \right. \\ \\ x_1 = \left\{ \begin{array}{ll} v_0t & 0<t\leq t_f\\ \\ v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f \end{array} \right. \end{array} \right. }

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_f} el coche 1 se encuentra en la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0t_f} y tiene velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t-t_f} en vez de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_f} .

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t) = x_2 - x_1 = \left\{ \begin{array}{ll} d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\ \\ d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f \end{array} \right. }

Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} . La de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2} es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_f} en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es

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El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene. Para que los dos coches no colisionen es necesario que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_s} la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t)} para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>t_s} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0 }

Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f) }

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}. }

Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

Comentario

Si el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_0} es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t<t_f} . Para que esto no ocurra debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0 \longrightarrow d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}. }

Hemos usado la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t)} para el intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t<t_f} y los valores numéricos del apartado b.