Coches frenando en una autopista

Enunciado

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad $v_{0}$ y separados por una distancia $d_{0}$. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo $a_{0}$ hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo $t_{f}$ en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.

1. Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
2. Si $t_{f}=0.30\,\mathrm {s}$, $v_{0}=120\,\mathrm {km/h}$ y $a_{0}=1.50\,\mathrm {m/s^{2}}$, calcula el valor mínimo de $d_{0}$ para que los coches no colisionen.

Solución

El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia $d_{0}$. En ese instante el coche que va delante (representado por $P_{2}$) empieza a frenar con aceleración constante $a_{0}$. El coche que va detras ($P_{1}$) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante $t=t_{f}$. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje $X$ la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración $-a_{0}$, su velocidad inicial es $v_{0}$ y su posición inicial es $d_{0}$. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene

$P_{2}\to \left\{{\begin{array}{l}v_{2}=v_{0}-a_{0}t\\\\x_{2}=d_{0}-v_{0}t-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}\end{array}}\right.$

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, $0<t<t_{f}$ y $t>t_{f}$. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos

$P_{1}\to \left\{{\begin{array}{l}v_{1}=\left\{{\begin{array}{ll}v_{0}&0<t\leq t_{f}\\v_{0}-a_{0}(t-t_{f})&t\geq t_{f}\end{array}}\right.\\\\x_{1}=\left\{{\begin{array}{ll}v_{0}t&0<t\leq t_{f}\\\\v_{0}t_{f}+v_{0}(t-t_{f})-{\dfrac {1}{2}}a_{0}(t-t_{f})^{2}&t\geq t_{f}\end{array}}\right.\end{array}}\right.$

En $t=t_{f}$ el coche 1 se encuentra en la coordenada $v_{0}t_{f}$ y tiene velocidad $v_{0}$. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos $t-t_{f}$ en vez de $t_{f}$.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es

$d(t)=x_{2}-x_{1}=\left\{{\begin{array}{ll}d_{0}-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}&0<t\leq t_{f}\\\\d_{0}-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t_{f}(2t-t_{f})&t\leq t_{f}\end{array}}\right.$

Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de $x_{1}$. La de $x_{2}$ es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos $t=t_{f}$ en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es

$v_{2}(t_{s})=0\longrightarrow t_{s}=v_{0}/a_{0}.$

El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene. Para que los dos coches no colisionen es necesario que en $t=t_{s}$la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de $d(t)$ para $t>t_{s}$ tenemos

$d(t_{s})=d_{0}-v_{0}t_{f}+{\dfrac {1}{2}}a_{0}t_{f}^{2}>0$

Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición

$d_{0}>{\dfrac {1}{2}}t_{f}\,(2v_{0}-a_{0}t_{f})$

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos

$d_{0}=9.92\,\mathrm {m} .$

Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

Comentario

Si el valor de $d_{0}$ es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo $t<t_{f}$. Para que esto no ocurra debe cumplirse

$d(t)=d_{0}-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t_{f}^{2}>0\longrightarrow d_{0}>{\dfrac {1}{2}}a_{0}t_{f}^{2}=6.75\,\mathrm {cm} .$

Hemos usado la expresión de $d(t)$ para el intervalo de tiempo $t<t_{f}$ y los valores numéricos del apartado b.