Movimiento instantáneo de barras adecuadas (Dic. 2020)

Enunciado

Una barra delgada (sólido “0”), de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}d} , está articulada en un punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y rota en el plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} . Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en en el extremo de la barra “0”. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra “2” desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1} con una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.

1. Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
2. Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
3. Si la velocidad absoluta del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

Solución

Análisis del enunciado

De la lectura atenta del enunciado se deducen los siguientes datos cinemáticos:

1. Todos los vectores rotación son perpendiculares al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} pues se trata de un movimiento plano. Esto es: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}} .
2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}} , pues la barra "0" está articulada en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} .
3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}} , pues las barras "0" y "2" están articuladas en el punto común Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} .
4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1} pues el punto $A$ de la barra “2” desliza sobre el eje $OY_{1}$ con una velocidad $v_{0}$.

Posición de los C.I.R.

Del análisis anterior se deduce inmediatamente

$I_{01}\equiv O,\qquad I_{20}\equiv B.$

Para encontrar $I_{21}$ razonamos como sigue. El punto $I_{21}$ debe estar en la línea perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21}} trazada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Y el Teorema de los Tres Centros nos dice que debe estar en la línea definida por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{I_{01}, I_{20}\}} . El punto de corte está indicado en la figura.

Los vectores de posición en la base del sólido "1" son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OI}_{01} = \vec{0}, \\ \overrightarrow{OI}_{20} = \overrightarrow{OB} = \sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) = d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1,\\ \overrightarrow{OI}_{21} = 2\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) = 2d\,\vec{\imath}_1 + 2d\,\vec{\jmath}_1, \end{array} }

Reducciones cinemáticas

Hay varias formas de hacer este apartado. Lo mas sencillo es empezar utilizando la posición del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} . Aplicando Chasles para el movimiento {21}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} +\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{I_{21}A} = (\omega_{21}\,\vec{k})\times(-2d\,\vec{\imath}_1) = 2\omega_{21}d\,\vec{\jmath}_1. }

Comparando con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1} obtenemos la reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del movimiento {21}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1. }

Ahora podemos seguir utlizando la composición {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01} }

Ahora aplicamos Chasles en los movimientos {20} y {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA} = (\omega_{20}\,\vec{k})\times (-d\,\vec{\imath}_1+d\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{20}d\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1, \\ \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = (\omega_{01}\,\vec{k})\times (2d\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega_{01}d\,\vec{\imath}_1. \end{array} }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = -d\,(\omega_{20} + 2\omega_{01})\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1. }

Comparando con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20} = -v_0/d, \qquad \omega_{01} = v_0/2d. }

Por lo que las dos reducciones cinemáticas que faltan son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, &\quad & \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\ \\ \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{d}\,\vec{k}, &\quad &\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}. \end{array} }

Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas

Al ser un movimiento plano tenemos también Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}} .

También hay varias formas de hacer este apartado. Proponemos una de ellas.

Como el enunciado dice que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} es constante tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}} . Por otro lado los C.I.R. de los movimientos {20} y {01} están siempre en los mismos puntos de los sólidos. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01}=\vec{0}. }

Ahora usamos la composición {21}= {20} + {01} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20}= \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\ \qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0},\\ \qquad \vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,0}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} - |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1. \\ \qquad\qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \\ \qquad \qquad \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} = (\alpha_{01}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1) = -\alpha_{01}d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{01}d\,\vec{\jmath}_1, \\ \qquad\qquad |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1).\\ \qquad\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}. \end{array} }

Por otro lado , usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} partiendo desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \left( \dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\ \qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0}. \\ \qquad \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 - d\,\vec{\jmath}_1) = \alpha_{21} d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{21}d\,\vec{\jmath}_1,\\ \qquad |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 - \vec{\jmath}_1). \end{array} }

Comparando las dos expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21}} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k} }

Y ahora usamos la ley de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} \to \vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} - \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0^2}{2d^2}\,\vec{k}. }

Las derivadas de las reducciones cinemáticas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{\alpha}_{21} = -(v_0^2/4d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0},\\ \vec{\alpha}_{20} = -(v_0^2/2d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0},\\ \vec{\alpha}_{01} = (v_0^2/4d)\,\vec{k},& \qquad \vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{0}. \end{array} }

Errores habituales detectados en la corrección

1. Cuando se pide encontrar analíticamente los C.I.R. quiere decir dar su vector de posición.
2. No se pueden derivar los vectores rotación obtenidos en el segundo apartado. Esos valores corresponden a un instante de tiempo. Para derivar una función tienes que conocer su expresión en un intervalo de tiempo.
3. Hay gente que, para expresar el Teorema de los Tres Centros, ha escrito Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} = I_{20} + I_{01}} . Esta expresión no tiene sentido.