Sucesión de tres procesos cuasiestáticos

Enunciado

Un cilindro de 100 cm² de sección contiene aire y está cerrado por un émbolo. Inicialmente el aire tiene una temperatura de 27 °C y una presión de 100 kPa, que también es la presión exterior, estando el émbolo a 10 cm del fondo. Entonces se realiza el siguiente proceso cuasiestático

A→B Se atornilla el émbolo y se calienta el aire hasta 327 °C, sumergiéndolo en un baño a esta temperatura.

B→C Se libera el émbolo lentamente, dejando que se expanda el aire hasta que su presión vuelve a ser la inicial. En este proceso el aire se mantiene a la temperatura de 327 °C.

C→A Con el émbolo libre, se enfría gradualmente hasta que la temperatura vuelve a ser la inicial.

Para este proceso:

1. Halle la presión, volumen y temperatura al final de cada fase del proceso.
2. Calcule el trabajo en cada fase, así como el trabajo neto total.
3. Calcule la variación en la energía interna y el calor en cada paso y su variación neta.

Presión, volumen y temperatura

Estado inicial

Inicialmente tenemos que la presión y la temperatura valen

$p_{A}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad T_{A}=(273+27)\mathrm {K} =300\,\mathrm {K}$

mientras que el volumen es el de un cilindro

$V_{A}=Sh=(1001\,\mathrm {cm} P2)(10\mathrm {cm} )=1000\,\mathrm {cm} ^{3}=0.001\,\mathrm {m} ^{3}$

Tras el primer paso

El primer paso ocurre a volumen constante, por estar el pistón atornillado, con lo que el volumen final es el mismo que el inicial

$V_{B}=V_{A}=1000\,\mathrm {cm} ^{3}$

La temperatura ha aumentado en 300°C

$T_{B}=600\,\mathrm {K}$

y la presión aumenta en la misma proporción que la temperatura

${\frac {p_{B}}{T_{B}}}={\frac {p_{A}}{T_{A}}}\qquad \Rightarrow \qquad p_{B}={\frac {600\,\mathrm {K} }{300\,\mathrm {K} }}100\,\mathrm {kPa} =200\,\mathrm {kPa}$

Tras el segundo paso

En el segundo paso tenemos una expansión isoterma, siendo la temperatura final igual a la que había al final del paso anterior

$T_{C}=T_{C}=600\,\mathrm {K}$

mientras que la presión final vuelve a ser la que había al principio

$p_{C}=p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$

El volumen final lo podemos obtener particularizando la ley de los gases ideales para temperatura constante, es decir, aplicando la ley de Boyle

$p_{C}V_{C}=p_{B}V_{B}\qquad \Rightarrow \qquad V_{C}={\frac {200\,\mathrm {kPa} }{100\,\mathrm {kPa} }}1000\,\mathrm {cm} ^{3}=2000\,\mathrm {cm} ^{3}$

Estado final

Por último, dejando el émbolo libre, la temperatura vuelve a ser la inicial, manteniéndose constante la presión

$p_{D}=p_{C}=p_{A}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad T_{D}=T_{A}=300\,\mathrm {K}$

La ley de los gases ideales se reduce en este caso a la ley de Charles

${\frac {V_{D}}{T_{D}}}={\frac {V_{C}}{T_{C}}}\qquad \Rightarrow \qquad V_{D}={\frac {300\,\mathrm {K} }{600\,\mathrm {K} }}2000\,\mathrm {cm} ^{3}=1000\,\mathrm {cm} ^{3}$

Al ser la presión y la temperatura finales iguales a las de partida también lo es el volumen. El estado D es el mismo que el estado A y el proceso es por tanto un ciclo.

Representación gráfica

Gráficamente este proceso se compone de tres tramos:

• Un calentamiento a volumen constante, que corresponde a una recta vertical.
• Una expansión isoterma, que se representa por un arco de hipérbola.
• Una compresión a presión constante, que en la gráfica queda como una recta horizontal.

Trabajo

Podemos hallar el trabajo sobre el gas en cada paso a partir de la evolución de sus variables de estado, si suponemos que todos los procesos son cuasiestáticos.

Calentamiento a volumen constante

Al permanecer constante el volumen, no se realiza trabajo sobre el gas

$W^{A\to B}=0\,$

Expansión isoterma

Cuando la temperatura permanece constante, podemos calcular el trabajo con ayuda de la ley de Boyle. En cualquier punto del camino

$pV=p_{B}V_{B}\qquad \Rightarrow \qquad p={\frac {p_{B}V_{B}}{V}}$

lo que nos da el trabajo

$W^{B\to C}=-\int _{B}^{C}p\,\mathrm {d} V=-p_{B}V_{B}\int _{V_{B}}^{V_{C}}{\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-p_{B}V_{B}\ln \left({\frac {V_{C}}{V_{B}}}\right)$

En nuestro caso

$W^{B\to C}=-(2\times 10^{5}\mathrm {Pa} )(0.001\,\mathrm {m} ^{3})\ln(2)=-139\,\mathrm {J}$

Compresión isóbara

En el tercer paso, el volumen se reduce a presión constante, lo que da un trabajo equivalente gráficamente al área de un rectángulo

$W^{C\to A}=-\int _{C}^{A}p\,\mathrm {d} V=-p_{A}\int _{V_{C}}^{V_{A}}=p_{A}(V_{A}-V_{C})=10^{5}(0.002-0.001)\,\mathrm {J} =+100\,\mathrm {J}$

Trabajo neto

El trabajo neto sobre el gas en el ciclo será la suma de los trabajos individuales

$W=-\oint p\,\mathrm {d} V=W^{A\to B}+W^{B\to C}+W^{C\to A}=\left(0-139+100\right)\mathrm {J} =-39\,\mathrm {J}$

El signo del trabajo nos dice que en realidad es el gas el que realiza el trabajo sobre el ambiente.

Energía y calor

La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura

$U=U_{0}+nc_{v}T\,$

siendo la capacidad calorífica molar para el aire aproximadamente igual a la de un gas diatómico

$c_{v}={\frac {5}{2}}R=20.8{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}$

La variación de la energía interna en cualquier proceso es proporcional a la diferencia de temperaturas

$\Delta U=nc_{v}\,\Delta T$

independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o como sea, por tratarse de una función de estado.

Una vez que calculemos la variación en la energía, podemos hallar el calor que entra en el gas por el primer principio de la termodinámica

$Q=\Delta U-W\,$

Proceso A→B

Al calentarse el gas aumenta su energía interna

$\Delta U^{A\to B}=nc_{v}(T_{B}-T_{A})={\frac {5}{2}}(nRT_{B}-nRT_{A})={\frac {5}{2}}(p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A})={\frac {5}{2}}(p_{B}-p_{A})V_{A}={\frac {5}{2}}(2\times 10^{5}-10^{5})(0.001)\,\mathrm {J} =+250\,\mathrm {J}$

Puesto que en este proceso el trabajo es nulo, este aumento en la energía procede exclusivamente del calor

$Q^{A\to B}=\Delta U^{A\to B}-\overbrace {W^{A\to B}} ^{=0}=+250\,\mathrm {J}$

Este calor se podía haber hallado directamente observando que en un proceso a volumen constante

$Q=nc_{v}\,\Delta T$

Proceso B→C

En la expansión isoterma la temperatura permanece constante, y por tanto, también lo es la energía interna

$\Delta U=nc_{v}\,\Delta T=0$

Esto quiere decir que el trabajo que realiza el gas se obtiene a base de absorber calor

$Q^{B\to C}=\overbrace {\Delta U^{B\to C}} ^{=0}-W^{B\to C}=p_{B}V_{B}\ln \left({\frac {V_{C}}{V_{B}}}\right)=+139\,\mathrm {J}$

Proceso C→A

Por último, en la compresión a presión constante, la temperatura vuelve a su valor inicial, y lo mismo hace la energía interna

$\Delta U^{C\to A}=nc_{v}\,\Delta T=nc_{v}(T_{A}-T_{B})=-250\,\mathrm {J}$

Obsérvese que aunque el proceso sea a presión constante, en la expresión de la energía aparece $c_{v}$.

El calor en este caso vale

$Q^{C\to A}=\Delta U-W^{C\to A}=-250\,\mathrm {J} -100\,\mathrm {J} =-350\,\mathrm {J}$

Al tratarse de un proceso a presión constante, el calor puede también hallarse directamente como

$Q=nc_{p}\,\Delta T$

siendo

$c_{p}={\frac {7}{2}}R=29.1{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}$

Este método nos daría

$Q^{C\to A}={\frac {7}{2}}\left(nRT_{A}-nRT_{C}\right)={\frac {7}{2}}(p_{A}V_{A}-p_{C}V_{C})={\frac {7}{2}}p_{A}(V_{A}-V_{C})={\frac {7}{2}}10^{5}(0.001-0.002)\,\mathrm {J} =-350\,\mathrm {J}$

Nótese que para el calor sí se cambia $c_{v}$ por $c_{p}$.

Balance

Sumando los tres pasos, obtenemos la variación de energía

$\Delta U=\Delta U^{A\to B}+\Delta U^{B\to C}+\Delta U^{C\to A}=250\,\mathrm {J} +0\,\mathrm {J} -250\,\mathrm {J} =0\,\mathrm {J}$

que es nula, como corresponde a que el proceso es cíclico y la energía es una función de estado.

Para el calor, en cambio

$Q=Q^{A\to B}+Q^{B\to C}+Q^{C\to A}=+250\,\mathrm {J} +139\,\mathrm {J} -350\,\mathrm {J} =+39\,\mathrm {J}$

El resultado neto es que a lo largo del ciclo entran $39\,\mathrm {J}$ en forma de calor y sale la misma cantidad en forma de trabajo. Este ciclo describiría un modelo muy simple de máquina térmica.