Dos discos rodando en aro

Enunciado

Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1=40\,\mathrm{cm}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2=20\,\mathrm{cm}} cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=100\,\mathrm{cm}} . Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=100\,\mathrm{cm}} , siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco “1” gira con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{30}=1.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}} en sentido antihorario respecto al aro exterior “0”.

1. Determine las cinco velocidades angulares relativas restantes.
2. Localice los seis centros instantáneos de rotación.

Sugerencia: Emplee el sistema de ejes ligado al sólido “3” de la figura, tal que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_3} pasa por el centro del disco “1”.

Velocidad angulares

Movimiento {30}

El enunciado nos da la velocidad angular con la que gira el punto C, centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} alrededor del centro del aro “0”. Este punto pertenece tanto al sólido “1” como al “3” por tratarse de la articulación de la barra con el disco. Esta velocidad angular es la que posee toda la barra “3” en su rotación alrededor de O. Por eso, los subíndices del dato se refieren al movimiento {30} (y no al {10} ya que como veremos, el disco 1 posee una velocidad angular diferente):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{30}=1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {10}

Para hallar la velocidad angular observamos que este movimiento es una rotación alrededor del punto de contacto, A, y por tanto la velocidad del centro del disco “1” en este movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{10}=\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}}

Por otro lado tenemos que la velocidad de C, considerado como parte de “3”, es una rotación alrededor de O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{13}+\vec{v}^C_{30}=\vec{0}+\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}}

Igualando ambas velocidades llegamos a la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{10}\overrightarrow{AC}=\omega_{30}\overrightarrow{OC}}

Los vectores de posición relativos valen, en el sistema de referencia indicado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=(R_0-R_1)\vec{\imath}_3=60\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=-R_1\vec{\imath}_3=-40\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}}

De aquí obtenemos la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{10}=-\frac{60}{40}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {31}

La velocidad angular del movimiento {31} es inmediata por aplicación de la ley de composición correspondiente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{31}=\omega_{30}+\omega_{01}=\omega_{30}-\omega_{10}=1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-\left(-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)=3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {20}

El punto D, centro del disco “2” también gira alrededor de O con la misma velocidad angular que C. Considerado como parte del sólido “3” su velocidad lineal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{30}=\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OD}}

mientras que, considerado como parte del disco “2” realiza una rotación instantánea alrededor del punto B, de contacto del disco con el aro.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BD}}

Estas dos velocidades deben ser iguales, ya que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{30}=\overbrace{\vec{v}^D_{32}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^D_{20}}

Sustituyendo, llegamos a la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{30}\overrightarrow{OD}=\omega_{20}\overrightarrow{BD}}

Aunque para determinar la velocidad angular nos basta con saber que los vectores de posición son proporcionales y de sentido opuesto, vamos a determinar su expresión en el sistema de referencia indicado, ya que ésta puede ser útil más adelante.

La figura sugiere que los puntos B y D se encuentran sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_3} . Sin embargo, no tenemos certeza de tal afirmación. De hecho, para valores arbitrarios de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} no será cierto en general. Vamos a demostrar que sí ocurre para los datos del enunciado. Para ello, hemos de probar que el ángulo COD es recto.

En el triángulo OCD los lados valen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OC}|=R_0-R_1=60\,\mathrm{cm}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OD}|=R_0-R_2=80\,\mathrm{cm}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{CD}|=L=100\,\mathrm{cm}}

Aplicando el teorema del coseno tenemos que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} es el ángulo en O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{OD}|^2-|\overrightarrow{CD}|^2}{2|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OD}|}=\frac{60^2+80^2-100^2}{2\cdot 60\cdot 80}=0}

Por tanto el ángulo es efectivamente recto y los vectores de posición relativos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BD}=-20\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}}

y la velocidad angular del movimiento {20} valen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=-\frac{80}{20}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-6.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {32}

De nuevo empleamos la ley de composición de velocidades angulares para hallar la del movimiento {32}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{32}=\omega_{30}+\omega_{02}=\omega_{30}-\omega_{20}=7.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {21}

Por último, para hallar la velocidad angular con la que gira un disco respecto al otro empleamos de nuevo la ley de composición de velocidades empleando el aro “0” como sólido intermedio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=\omega_{20}+\omega_{01}=\omega_{20}-\omega_{10}=\left(-6.00+2.25\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Alternativamente, podemos emplear la barra “3” como sólido intermedio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=\omega_{23}+\omega_{31}=-\omega_{32}+\omega_{31}=\left(-7.50+3.75\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Centros instantáneos de rotación

La mayoría de los centros instantáneos de rotación son inmediatos. De hecho, todos menos uno.

Movimiento {30}

El movimiento de la barra “3” respecto al aro “0” es una rotación alrededor del centro de éste. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}=O\,}

En forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{30}=\vec{0}}

Movimiento {13}

Respecto de la barra “3”, el disco “1” realiza una rotación alrededor de su centro, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}=C\,}

En forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{31}=60\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}}

Movimiento {23}

Análogamente, el disco “2” ejecuta, respecto de la barra “3”, una rotación alrededor de su centro:

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En forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{32}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}}

Movimiento {10}

Dado que el contacto entre el disco 1 y el aro 0 implica rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento es el punto de contacto

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En forma vectorial

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Movimiento {20}

El disco “2” también realiza, respecto del aro “0”, una rotación instantánea alrededor del punto de contacto, por lo que

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En forma vectorial

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Movimiento {21}

Este es el único que no es evidente. Podemos hallar este punto analítica y gráficamente. Para calcularlo de manera analítica precisamos la velocidad de un punto. Si queremos la posición respecto al punto O, la fórmula correspondiente es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{21}}{\omega_{21}}}

Necesitamos la velocidad del punto O en el movimiento {21}. La obtenemos aplicando la fórmula de composición de velocidades. Los movimientos {20} y {10} son rotaciones instantáneas alrededor de los puntos B y A por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21}=\vec{v}^O_{20}-\vec{v}^O_{10}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BO}-\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}}

Sustituyendo los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21}=\left(-6.00\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm})-\left(-2.25\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm})=\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}}

Llevando esto a la expresión analítica del CIR nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)}{-3.75}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}}

También podemos hallar este CIr empleando la fórmula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI}_{20}+\omega_{01}\overrightarrow{OI}_{01}}{\omega_{20}+\omega_{01}}}

que para este caso nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21}=\frac{-6.00(100\vec{\jmath}_3)+2.25(100\vec{\imath}_3)}{-6.00+2.25}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}}

Alternativamente, este CIR puede obtenerse gráficamente. Por el teorema de los tres centros, el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} se encuentra alineado con los dos centros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{10}} . Por tanto, se encuentra sobre una recta que pasa por A y B. Asimismo, se encuentra alineado con los centros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{32}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}} . Por ello, pertenece también a la recta que pasa por C y D. El CIR buscado se encuentra entonces en la intersección de estas dos rectas, la que pasa por AB y la que pasa por C y D.

Algebraicamente, esto se expresa observando que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}} debe ser proporcional al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CD}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21}=\lambda\overrightarrow{CD}=\lambda\left(-60\vec{\imath}_3+80\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}}

y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}_{21}} al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}}

Sustituyendo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}_{21}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left((-40-60\lambda)\vec{\imath}_3+80\lambda\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}}

Hallamos el producto vectorial y lo igualamos a cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_3 & \vec{\jmath}_3 & \vec{k} \\ -40-60\lambda & 80\lambda & 0 \\ -100 & 100 & 0\end{matrix}\right|\,\mathrm{cm}^2 = 100(-40+20\lambda)\vec{k}\,\mathrm{cm}^2}

de donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = 2\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21}=\left(-120\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}}

y respecto al centro del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}}

Igualmente, puede verificarse que se encuentran alineados los centros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{10}} , por un lado (los tres están en el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_3} ) y los centros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{32}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} por otro (sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_3} ).

Cuando las discos van avanzando sobre el aro, los seis centros van girando respecto al aro, manteniendo una posición fija respecto al sólido “3”.