Dos discos rodando en aro

Enunciado

Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios $R_{1}=40\,\mathrm {cm}$ y $R_{2}=20\,\mathrm {cm}$ cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud $L=100\,\mathrm {cm}$. Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio $R_{0}=100\,\mathrm {cm}$, siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco “1” gira con velocidad angular constante $\omega _{30}=1.50\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$ en sentido antihorario respecto al aro exterior “0”.

1. Determine las cinco velocidades angulares relativas restantes.
2. Localice los seis centros instantáneos de rotación.

Sugerencia: Emplee el sistema de ejes ligado al sólido “3” de la figura, tal que el eje $OX_{3}$ pasa por el centro del disco “1”.

Velocidad angulares

Movimiento {30}

El enunciado nos da la velocidad angular con la que gira el punto C, centro del disco $1$ alrededor del centro del aro “0”. Este punto pertenece tanto al sólido “1” como al “3” por tratarse de la articulación de la barra con el disco. Esta velocidad angular es la que posee toda la barra “3” en su rotación alrededor de O. Por eso, los subíndices del dato se refieren al movimiento {30} (y no al {10} ya que como veremos, el disco 1 posee una velocidad angular diferente):

$\omega _{30}=1.50{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Movimiento {10}

Para hallar la velocidad angular observamos que este movimiento es una rotación alrededor del punto de contacto, A, y por tanto la velocidad del centro del disco “1” en este movimiento es

${\vec {v}}_{10}^{C}=\omega _{10}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AC}}$

Por otro lado tenemos que la velocidad de C, considerado como parte de “3”, es una rotación alrededor de O

${\vec {v}}_{10}^{C}={\vec {v}}_{13}^{C}+{\vec {v}}_{30}^{C}={\vec {0}}+\omega _{30}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OC}}$

Igualando ambas velocidades llegamos a la relación

$\omega _{10}{\overrightarrow {AC}}=\omega _{30}{\overrightarrow {OC}}$

Los vectores de posición relativos valen, en el sistema de referencia indicado:

${\overrightarrow {OC}}=(R_{0}-R_{1}){\vec {\imath }}_{3}=60{\vec {\imath }}_{3}\,\mathrm {cm}$    ${\overrightarrow {AC}}=-R_{1}{\vec {\imath }}_{3}=-40\,{\vec {\imath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

De aquí obtenemos la velocidad angular

$\omega _{10}=-{\frac {60}{40}}1.50\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=-2.25\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Movimiento {31}

La velocidad angular del movimiento {31} es inmediata por aplicación de la ley de composición correspondiente

$\omega _{31}=\omega _{30}+\omega _{01}=\omega _{30}-\omega _{10}=1.50\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}-\left(-2.25\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right)=3.75\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Movimiento {20}

El punto D, centro del disco “2” también gira alrededor de O con la misma velocidad angular que C. Considerado como parte del sólido “3” su velocidad lineal es

${\vec {v}}_{30}^{D}=\omega _{30}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OD}}$

mientras que, considerado como parte del disco “2” realiza una rotación instantánea alrededor del punto B, de contacto del disco con el aro.

${\vec {v}}_{20}^{D}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {BD}}$

Estas dos velocidades deben ser iguales, ya que

${\vec {v}}_{30}^{D}=\overbrace {{\vec {v}}_{32}^{D}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{20}^{D}$

Sustituyendo, llegamos a la relación

$\omega _{30}{\overrightarrow {OD}}=\omega _{20}{\overrightarrow {BD}}$

Aunque para determinar la velocidad angular nos basta con saber que los vectores de posición son proporcionales y de sentido opuesto, vamos a determinar su expresión en el sistema de referencia indicado, ya que ésta puede ser útil más adelante.

La figura sugiere que los puntos B y D se encuentran sobre el eje $OY_{3}$. Sin embargo, no tenemos certeza de tal afirmación. De hecho, para valores arbitrarios de $R_{1}$, $R_{2}$ y $L$ no será cierto en general. Vamos a demostrar que sí ocurre para los datos del enunciado. Para ello, hemos de probar que el ángulo COD es recto.

En el triángulo OCD los lados valen

$|{\overrightarrow {OC}}|=R_{0}-R_{1}=60\,\mathrm {cm}$    $|{\overrightarrow {OD}}|=R_{0}-R_{2}=80\,\mathrm {cm}$    $|{\overrightarrow {CD}}|=L=100\,\mathrm {cm}$

Aplicando el teorema del coseno tenemos que si $\gamma$ es el ángulo en O

$\cos(\gamma )={\frac {|{\overrightarrow {OC}}|^{2}+|{\overrightarrow {OD}}|^{2}-|{\overrightarrow {CD}}|^{2}}{2|{\overrightarrow {OC}}||{\overrightarrow {OD}}|}}={\frac {60^{2}+80^{2}-100^{2}}{2\cdot 60\cdot 80}}=0$

Por tanto el ángulo es efectivamente recto y los vectores de posición relativos son

${\overrightarrow {OD}}=80\,{\vec {\jmath }}_{3}\,\mathrm {cm}$    ${\overrightarrow {BD}}=-20{\vec {\jmath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

y la velocidad angular del movimiento {20} valen

$\omega _{20}=-{\frac {80}{20}}1.50\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=-6.00\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Movimiento {32}

De nuevo empleamos la ley de composición de velocidades angulares para hallar la del movimiento {32}

$\omega _{32}=\omega _{30}+\omega _{02}=\omega _{30}-\omega _{20}=7.50\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Movimiento {21}

Por último, para hallar la velocidad angular con la que gira un disco respecto al otro empleamos de nuevo la ley de composición de velocidades empleando el aro “0” como sólido intermedio

$\omega _{21}=\omega _{20}+\omega _{01}=\omega _{20}-\omega _{10}=\left(-6.00+2.25\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=-3.75\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Alternativamente, podemos emplear la barra “3” como sólido intermedio

$\omega _{21}=\omega _{23}+\omega _{31}=-\omega _{32}+\omega _{31}=\left(-7.50+3.75\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=-3.75\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Centros instantáneos de rotación

La mayoría de los centros instantáneos de rotación son inmediatos. De hecho, todos menos uno.

Movimiento {30}

El movimiento de la barra “3” respecto al aro “0” es una rotación alrededor del centro de éste. Por tanto

$I_{30}=O\,$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{30}={\vec {0}}$

Movimiento {13}

Respecto de la barra “3”, el disco “1” realiza una rotación alrededor de su centro, por lo que

$I_{31}=C\,$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{31}=60\,{\vec {\imath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

Movimiento {23}

Análogamente, el disco “2” ejecuta, respecto de la barra “3”, una rotación alrededor de su centro:

$I_{32}=D\,$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{32}=80\,{\vec {\jmath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

Movimiento {10}

Dado que el contacto entre el disco 1 y el aro 0 implica rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento es el punto de contacto

$I_{10}=A\,$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{10}=100\,{\vec {\imath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

Movimiento {20}

El disco “2” también realiza, respecto del aro “0”, una rotación instantánea alrededor del punto de contacto, por lo que

$I_{20}=B\,$

En forma vectorial

${\overrightarrow {OI}}_{20}=100\,{\vec {\jmath }}_{3}\,\mathrm {cm}$

Movimiento {21}

Este es el único que no es evidente. Podemos hallar este punto analítica y gráficamente. Para calcularlo de manera analítica precisamos la velocidad de un punto. Si queremos la posición respecto al punto O, la fórmula correspondiente es

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{21}^{O}}{\omega _{21}}}$

Necesitamos la velocidad del punto O en el movimiento {21}. La obtenemos aplicando la fórmula de composición de velocidades. Los movimientos {20} y {10} son rotaciones instantáneas alrededor de los puntos B y A por lo que

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{20}^{O}-{\vec {v}}_{10}^{O}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {BO}}-\omega _{10}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AO}}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {v}}_{21}^{O}=\left(-6.00{\vec {k}}{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right)\times (-100\,{\vec {\jmath }}_{3}\,\mathrm {cm} )-\left(-2.25{\vec {k}}{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right)\times (-100\,{\vec {\imath }}_{3}\,\mathrm {cm} )=\left(-600\,{\vec {\imath }}_{3}-225\,{\vec {\jmath }}_{3}\right)\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} }}$

Llevando esto a la expresión analítica del CIR nos queda

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\frac {{\vec {k}}\times \left(-600\,{\vec {\imath }}_{3}-225\,{\vec {\jmath }}_{3}\right)}{-3.75}}\,\mathrm {cm} =\left(-60{\vec {\imath }}_{3}+160{\vec {\jmath }}_{3}\right)\mathrm {cm}$

También podemos hallar este CIr empleando la fórmula

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\frac {\omega _{20}{\overrightarrow {OI}}_{20}+\omega _{01}{\overrightarrow {OI}}_{01}}{\omega _{20}+\omega _{01}}}$

que para este caso nos da

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\frac {-6.00(100{\vec {\jmath }}_{3})+2.25(100{\vec {\imath }}_{3})}{-6.00+2.25}}\,\mathrm {cm} =\left(-60{\vec {\imath }}_{3}+160{\vec {\jmath }}_{3}\right)\mathrm {cm}$

Alternativamente, este CIR puede obtenerse gráficamente. Por el teorema de los tres centros, el CIR $I_{21}$ se encuentra alineado con los dos centros $I_{20}$ e $I_{10}$. Por tanto, se encuentra sobre una recta que pasa por A y B. Asimismo, se encuentra alineado con los centros $I_{32}$ e $I_{31}$. Por ello, pertenece también a la recta que pasa por C y D. El CIR buscado se encuentra entonces en la intersección de estas dos rectas, la que pasa por AB y la que pasa por C y D.

Algebraicamente, esto se expresa observando que el vector ${\overrightarrow {CI}}$ debe ser proporcional al ${\overrightarrow {CD}}$

${\overrightarrow {CI}}_{21}=\lambda {\overrightarrow {CD}}=\lambda \left(-60{\vec {\imath }}_{3}+80{\vec {\jmath }}_{3}\right)\,\mathrm {cm}$

y el ${\overrightarrow {AI}}_{21}$ al ${\overrightarrow {AB}}$

${\overrightarrow {AI}}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$

Sustituyendo tenemos

${\overrightarrow {AI}}_{21}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CI}}_{21}=\left((-40-60\lambda ){\vec {\imath }}_{3}+80\lambda {\vec {\jmath }}_{3}\right)\mathrm {cm}$

Hallamos el producto vectorial y lo igualamos a cero

${\vec {0}}={\overrightarrow {AI}}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{3}&{\vec {\jmath }}_{3}&{\vec {k}}\\-40-60\lambda &80\lambda &0\\-100&100&0\end{matrix}}\right|\,\mathrm {cm} ^{2}=100(-40+20\lambda ){\vec {k}}\,\mathrm {cm} ^{2}$

de donde

$\lambda =2\,$ ⇒ ${\overrightarrow {CI}}_{21}=\left(-120{\vec {\imath }}_{3}+160{\vec {\jmath }}_{3}\right)\,\mathrm {cm}$

y respecto al centro del aro

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CI}}_{21}=\left(-60{\vec {\imath }}_{3}+160{\vec {\jmath }}_{3}\right)\,\mathrm {cm}$

Igualmente, puede verificarse que se encuentran alineados los centros $I_{30}$, $I_{31}$ e $I_{10}$, por un lado (los tres están en el eje $OX_{3}$) y los centros $I_{30}$, $I_{32}$ e $I_{20}$ por otro (sobre el eje $OY_{3}$).

Cuando las discos van avanzando sobre el aro, los seis centros van girando respecto al aro, manteniendo una posición fija respecto al sólido “3”.