Ejemplo de estimación de magnitudes

Enunciado

Se tiene un bloque de hierro (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho_\mathrm{Fe}=7874\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3} ) de forma cúbica cuya masa es aproximadamente 2.5 kg. Estime el valor de la arista del cubo, así como su superficie lateral.

Si se sabe que el margen de error de la medida de la masa es de 100 g, ¿entre qué valores se hallarán la arista y el área lateral?

Arista

El volumen de un cubo es la arista al cubo, por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = V^{1/3} = \left(\frac{M}{\rho}\right)^{1/3}}

Sustituyendo los valores de la masa y la densidad quedaría

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = 0.06822049496849\ldots\,\mathrm{m}}

Sin embargo, no es lógico un resultado con tantos decimales, cuando de los datos del problema, la densidad se da con 4 cifras significativas y la masa solo con 2. Si no sabemos la tercera cifra significativa de la masa, ¿cómo podemos esperar conocer la 12ª de la arista? Siendo coherentes, debemos mantener el número de cifras significativas en el menor de los de los datos (2, en este caso), por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = 0.068\,\mathrm{m} = 6.8\,\mathrm{cm}}

Área lateral

El área lateral es la de seis cuadrados de lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} o, directamente en función del volumen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = 6V^{2/3} = 6\left(\frac{M}{\rho}\right)^{2/3} = 0.027924\ldots\mathrm{m}^2 = 0.028\,\mathrm{m}^2 }

donde de nuevo hemos redondeado a 2 cifras significativas. En cm²

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = 280\,\mathrm{cm}^2}

Obsérvese que el número de cifras significativas sigue siendo 2, aunque ahora la cantidad tiene tres dígitos.

Incertidumbres

Una mejor estimación de la expresión correcta lo obtenemos si conocemos la incertidumbre de la medida original, la cual se expresa mediante las bandas de error, de forma que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = (2.5\pm 0.1)\,\mathrm{kg}}

esto es, que el valor de la masa verifica, con gran probabilidad,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2.4\,\mathrm{kg} < M < 2.6\,\mathrm{kg}}

Tomando los valores extremos de este intervalo obtenemos el intervalo para la longitud

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.0672985\,\mathrm{m} < L < 0.0691182\,\mathrm{m}}

con lo que vemos que efectivamente tenemos una incertidumbre en la segunda cifra significativa (el tercer decimal). Por ello se expresará mejor como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.067\,\mathrm{m} < L < 0.069\,\mathrm{m}}

Operando igualmente para el área lateral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.0271745\,\mathrm{m}^2 < S < 0.028664\,\mathrm{m}^2}

lo que se expresa, redondeando hasta la primera cifra incierta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.027\,\mathrm{m}^2 < S < 0.029\,\mathrm{m}^2}