No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

Enunciado

La varilla rígida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB\,} (sólido "0"), de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L\,} , está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_{1}\,} del triedro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1\,} (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_{1}} . La varilla "0" rota alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_{1}\,} con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\,} (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} recorre el citado eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_{1}\,} con celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,} (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle CD\,} (sólido "2"), de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} , se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} . El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_{0}\,} ) con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\,} (en el sentido mostrado en la figura). Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,} la base ortonormal asociada al triedro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0Y_0Z_0\,} (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}\,}
2. Aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,}
3. Aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}\,}

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1\equiv OZ_0\,} , y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} (las direcciones, los módulos y los sentidos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{01}\,} se deducen del enunciado):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right. }

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0\,} , y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{20}\,} es nula por pertenecer $C\,$ al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} se deducen del enunciado):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right. }

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} , respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array} }

Velocidad {01} del punto C

La velocidad de arrastre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}\,} se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0 }

Aceleración angular {21}

Determinamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0 }

Aceleración {21} del punto C

Calculamos primero la aceleración de arrastre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{01}\,} (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0 }

y después la sustituimos en la ley de composición de aceleraciones para obtener la aceleración absoluta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}\,} (en este ejercicio se anulan los correspondientes términos de aceleración relativa y de aceleración de Coriolis):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0 }