Hélice de avión en rotación

Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _1} de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} en el sistema de referencia fijo OXError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _1} YError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _1} ZError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _1} (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{01}| = \Omega} y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{20}| = \omega} y con el sentido indicado en la figura. Se pide

1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{21}} y la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{21}} del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
4. Calcule numéricamente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{21}} para los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = 1\,\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = 100\,\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}} .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0=OZ_1} . Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}}

El EIR de este movimiento es el propio eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0} .

Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}}

El EIR de este movimiento es uno paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} y que pasa por C.

Velocidad y aceleración de P

Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}}

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0}

Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}}

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}

Es la de una rotación con velocidad angular constante en torno a un eje permanente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0}

Aceleración relativa {20}

Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0}

Término de Coriolis

Por último tenemos la contribución:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0}

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}

Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0}

La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto P es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^P_{21}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\,\,\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0\}}

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}}

Tanto el primer invariante (velocidad angular) como el segundo invariante (velocidad de deslizamiento) del movimiento {21} son no nulos. Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal instantáneo.

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}}

Sustituyendo las diferentes cantidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)=\frac{-L\Omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI}=\frac{L\omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0+R\Omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{\jmath}_0+\Omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{k}_0}

Haciendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu = \lambda +\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \mu(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0Z_0} .

La reducción cinemática para los puntos de este eje (reducción cinemática canónica) es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^I_{21}\}=\left\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\frac{L\omega\Omega(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\omega^2+\Omega^2}\right\}}

Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{21}= \omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0 = (100\vec{\imath}_0+100\vec{\jmath}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

con módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^P_{21}=141\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

La aceleración en este mismo instante vale

${\vec {a}}_{21}^{P}=-L\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+2R\Omega \omega {\vec {\jmath }}_{0}-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}=(-100{\vec {\imath }}_{0}+200{\vec {\jmath }}_{0}-10000{\vec {k}}_{0}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo su módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^P_{21}=10002\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\simeq 10^4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.