Placa en escuadra rotatoria

Enunciado

Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} que forma la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado $L$, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

1. En función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
2. En función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} , calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

Centro instantáneo de rotación

Posición del CIR {20}

Localizamos la posición del CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} a partir de la velocidad de dos puntos en dicho movimiento. En este caso, lo más sencillo es considerar los dos puntos de contacto A y B.

En estos dos puntos se cumple que la placa no puede atravesar a la escuadra y por tanto la velocidad de los puntos A y B debe ser tangencial a las barras de la escuadra, esto es, respectivamente a lo largo de los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=v^A_{20}\vec{\jmath}_0}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=v^B_{20}\vec{\imath}_0}

Estas velocidades deben ser ortogonales a los vectores de posición relativos al centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} . Por ello, trazamos las perpendiculares a las barras de la escuadra en los puntos A y B. Su intersección es el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} .

Este punto se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es el punto O y una de cuyas diagonales es el lado AB de la placa.

Expresión en la base “0”

La posición del CIR en la base “0” es inmediata observando que se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es O. Por adición de vectores se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI}_{20}}

y por tratarse de un paralelogramo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BI}_{20}=\overrightarrow{OA}}

así que la posición del CIR respecto a O es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}}

Los dos sumandos se encuentran en la dirección de los ejes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=|\overrightarrow{OB}|\vec{\imath}_0+|\overrightarrow{OA}|\vec{\jmath}_0}

Las dos distancias las obtenemos observando que el triángulo OBA es rectángulo en O, su hipotenusa mide $L$ y el ángulo en el vértice B es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . Por ello

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OB}|=L\cos(\theta)}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=L\,\mathrm{sen}(\theta)}

y la posición del CIR expresada en la base ligada al sólido “0” vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=L\,\cos(\theta)\vec{\imath}_0+L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0}

Este resultado nos dice que en el sistema “0”, las sucesivas posiciones del CIR forman un arco de circunferencia de radio $L$ y tal que el vector de posición del CIR forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0}

Expresión en la base “1”

Una vez que tenemos la expresión en el sistema “0” es inmediato pasarla al sistema “1” simplemente relacionando las bases vectoriales. Se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr}\vec{\imath}_0 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\ && \\ \vec{\jmath}_0 & = & -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 + \cos(\theta)\vec{\jmath}_1\end{array}\right.}

Sustituyendo en la expresión obtenida en la sección anterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=L\cos(\theta)\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+L\,\mathrm{sen}(\theta)\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 + \cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)}

Agrupando términos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}= L\left(\cos^2(\theta)-\mathrm{sen}^2(\theta)\right)\vec{\imath}_1+2L\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

En esta expresión reconocemos las razones trigonométricas del ángulo doble:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}= L\cos(2\theta)\vec{\imath}_1+L\,\mathrm{sen}(2\theta)\vec{\jmath}_1}

También podemos llegar a este resultado geométricamente, observando que si el ángulo que forma el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}} con el eje $OX_{0}$ vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y el que éste forma con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} vale también Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , el que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}} forma con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\theta} , de donde es inmediato el vector de posición anterior.

Localización del CIR {21}

El movimiento {21} es una traslación, ya que la orientación de la placa “2” no cambia respecto al sólido “1” aunque se desplace. Por ello, el CIR $I_{21}$ se encontrará en el infinito.

Por el teorema de los tres centros, los CCIIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} se encuentran alineados. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} es el punto O de articulación de la escuadra con el plano horizontal. El Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} es el que hallamos en la sección anterior. Por tanto, el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} se encuentra en el infinito según la recta que pasa por estos dos puntos, que es una que forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\theta} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} .

Velocidades de deslizamiento

Podemos hallar las dos velocidades de deslizamiento con ayuda del CIR o derivando los vectores de posición.

Por derivación

Conocemos la posición de ambos puntos en el sistema “0” en todo momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec{r}^A_{20}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0}     ${\overrightarrow {OB}}={\vec {r}}_{20}^{B}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

Derivando en ambas expresiones obtenemos, para el punto A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{r}^A_{20})\right|_0=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}

y para el punto B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{r}^B_{20})\right|_0=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0}

Con ayuda del CIR

Se trata de hallar las velocidades de A y B en el movimiento relativo de la placa “2” respecto a la escuadra “0”. En cada instante se verifica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}A}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}B}}

siendo los vectores de posición relativos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{I_{20}A}=\overrightarrow{BO}=-L\cos(\theta)\vec{\imath}_0}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{I_{20}B}=\overrightarrow{AO}=-L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0}

La velocidad angular la da la derivada temporal del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} que forman la placa y la escuadra. Su sentido lo da la regla de la mano derecha. Cuando el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} aumenta la placa gira en sentido horario respecto a la escuadra, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=-\dot{\theta}}

Alternativamente podemos obtener esta rotación observando que {21} es una traslación y que {01} tiene velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=0\qquad\omega_{01}=\dot{\theta}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{20}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}}

Sustituyendo en la expresión del campo de velocidades hallamos las velocidades de deslizamiento. Para el punto A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}A}=-\dot{\theta}\vec{k}\times(-L\cos(\theta)\vec{\imath}_0)=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0}

y para el B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}B}=-\dot{\theta}\vec{k}\times(-L\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0)=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0}