Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)

Enunciado

Una barra de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d} está articulada en su punto central en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se conecta al punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} por un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. Una fuerza ${\vec {F}}=F_{0}\,{\vec {\imath }}$, con $F_{0}>0$, se aplica en el punto $B$. No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.

1. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo $\theta$.
2. Si el ángulo es tal que $\,\mathrm {sen} \,{\theta }=3/5$ y $\cos \theta =4/5$, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en $O$ (en la base de los ejes de la figura)

Solución

Posición de equilibrio

Con el Principio de los Trabajos Virtuales

Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son la fuerza aplicada en $B$ y la fuerza que el muelle ejerce en $A$. El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) dice que, para que haya equilibrio, en cualquier desplazamiento virtual debe cumplirse

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}+{\vec {F}}_{k}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}=0.$

Calculemos cada uno de esos términos. El sistema tiene un grado de libertad: $\{\theta \}$. Así pues, un desplazamiento virtual arbitrario es $\{\delta \theta \}$.

Para la fuerza en $B$ tenemos

${\vec {r}}_{B}=d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\Longrightarrow \delta {\vec {r}}_{B}=\left({\dfrac {\partial {\vec {r}}_{B}}{\partial \theta }}\right)\delta \theta =(d\cos \theta \,{\vec {\imath }}-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\delta \theta .$

Por tanto

${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}=F_{0}d\cos \theta \delta \theta .$

La fuerza del muelle sobre el extremo $A$ de la barra viene dada por

${\begin{array}{ll}{\vec {F}}_{k}&=-k{\overrightarrow {CA}}=kd\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}-kd(1-\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OC}}=-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+d(1-\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\&\qquad {\overrightarrow {OA}}=-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}-d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.\\&\qquad {\overrightarrow {OC}}=-d\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Tenemos

${\vec {r}}_{A}=-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}-d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\Longrightarrow \delta {\vec {r}}_{A}=\left({\dfrac {\partial {\vec {r}}_{A}}{\partial \theta }}\right)\delta \theta =(-d\cos \theta \,{\vec {\imath }}+d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\delta \theta .$

Por tanto

${\vec {F}}_{k}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}=-kd^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta .$

Por tanto la condición de equilibrio es, para todo $\delta \theta$,

$(F_{0}d\cos \theta -kd^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,\delta \theta =0\Longrightarrow \tan \theta ={\dfrac {F_{0}}{kd}}.$

Con el Principio de las Potencias Virtuales

En esta caso necesitamos la reducción cinemática del movimiento de la barra

${\vec {\omega }}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}^{\,O}={\vec {0}}.$

El Principio dice que, en cualquier desplazamiento virtual $\{{\dot {\theta }}^{*}\}$, debe cumplirse

${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{B}^{\,*}+{\vec {F}}_{k}\cdot {\vec {v}}_{A}^{\,*}=0.$

Las velocidades que necesitamos son

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{B}^{\,*}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OB}}=(d\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\,{\dot {\theta }}^{*},\\{\vec {v}}_{A}^{\,*}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}=(-d\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\,{\dot {\theta }}^{*}\end{array}}$

Aplicando el PPV llegamos a la misma condición que en el caso anterior.

Con la energía potencial

Otra forma de hacerlo es usando la energía potencial. La acción del muelle puede describirse con la energía potencial

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k\,|{\overrightarrow {AC}}|^{2}=kd^{2}(1-\cos \theta ).$

La acción de ${\vec {F}}$ se describe con una fuerza generalizada

$Q_{\theta }^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {r}}_{B}}{\partial \theta }}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=F_{0}d\cos \theta$

La condición de equilibrio es

${\dfrac {\partial U_{k}}{\partial \theta }}=Q_{\theta }^{NC}\Longrightarrow \tan \theta ={\dfrac {F_{0}}{kd}}.$

Fuerza vincular en $O$

La fuerza vincular en $O$ garantiza que se cumpla el vínculo ${\vec {v}}_{O}={\vec {0}}$. Por tanto debe tener dos componentes (es un sistema plano)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O} = O_x\,\vec{\imath}_1 + O_y\,\vec{\jmath}_1. }

Por tanto, tenemos que aplicar el Principio de Liberación dos veces.

Componente $O_{x}$

Liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse horizontalmente. Ahora hay dos grados de libertad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x_O, \theta\}} y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta x_O, \delta\theta\}} . Al liberar, tenemos que introducir una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O}_x = O_x\,\vec{\imath}_1} que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_x\cdot\delta\vec{r}_O=0. }

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta = 0, \qquad \delta x_O = 1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \vec{\imath}_1. }

Aplicando el PTV llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0 - kd\mathrm{sen}\,\theta + O_x=0 \Longrightarrow O_X = kd\,\mathrm{sen}\,\theta - F_0. }

Usando el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} dado por el enunciado tenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_x = \dfrac{3}{5}kd-F_0. }

Componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_y}

Ahora liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse verticalmente. Los dos grados de libertad son: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{y_O, \theta\}} y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta y_O, \delta\theta\}} . Al liberar, tenemos que introducir una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O}_y = O_y\,\vec{\jmath}_1} que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_y\cdot\delta\vec{r}_O=0. }

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta = 0, \qquad \delta y_O = 1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \vec{\jmath}_1. }

Aplicando el PTV llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -kd\,(1-\cos\theta) + O_y=0 \Longrightarrow O_y = kd\,(1-\cos\theta). }

Usando el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} dado por el enunciado tenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_y = \dfrac{1}{5}kd. }