Sólido en rotación instantánea

Enunciado

Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto $A(1,0,-1)$ y lleva la dirección del vector ${\vec {e}}=2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$, de tal forma que la velocidad del punto $B(0,2,1)$ es

${\vec {v}}^{B}=-4{\vec {\imath }}-6{\vec {\jmath }}+c{\vec {k}}$

1. Halle el valor de la constante $c$.
2. Calcule la velocidad angular instantánea.
3. Calcule la velocidad del punto $P(1,1,0)$.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

Valor de la constante

Por ser A un punto del eje instantáneo de rotación, EIR

${\vec {v}}^{A}={\vec {0}}$

y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica

${\vec {v}}^{B}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}$

Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante

${\vec {\omega }}\parallel {\vec {e}}=2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,0={\vec {v}}^{B}\cdot {\vec {e}}=-8+12-c\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,c=4\,$

y resulta la velocidad para el punto B

${\vec {v}}^{B}=-4{\vec {\imath }}-6{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}$

Velocidad angular instantánea

Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección

${\vec {\omega }}=\omega {\frac {\vec {e}}{|{\vec {e}}\,|}}=\omega \left({\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}-{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}-{\frac {1}{3}}{\vec {k}}\right)$

Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B

${\vec {v}}^{B}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}$

siendo

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=-{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$

lo que nos da

$-4{\vec {\imath }}-6{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}={\frac {\omega }{3}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-2&-1\\-1&2&2\end{matrix}}\right|={\frac {\omega }{3}}\left(-2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)$

Igualando componente a componente

$-4=-{\frac {2\omega }{3}}\,\,;$      $-6=-\omega \,\,;$      $4={\frac {2\omega }{3}}$

Las tres ecuaciones conducen a la misma solución

$\omega =6\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}=4{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$

Velocidad del punto P

Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto P

${\overrightarrow {AP}}={\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$  ⇒ ${\vec {v}}^{P}=\overbrace {{\vec {v}}^{A}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AP}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\4&-4&-2\\0&1&1\end{matrix}}\right|=-2{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}$