Velocidad de tres puntos de un sólido

Enunciado

Los vectores de posición y las velocidades de tres puntos de un sólido son, en el SI,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\longrightarrow & \vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\longrightarrow & \vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\longrightarrow & \vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array} }

1. Halle los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} .
2. Halle la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}} .
3. Calcule la velocidad angular y la de deslizamiento
4. Determine la posición del eje instantáneo de rotación.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

Valores de las constantes

Podemos hallar las constantes indeterminadas imponiendo la condición cinemática de rigidez, esto es, la equiproyectividad del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}}

En este caso tenemos, para los puntos A y B

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=-2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$

Proyectando e igualando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a\,\,;}         ${\vec {v}}^{B}\cdot {\overrightarrow {AB}}=-3-2b$ ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -a+2b=5\,}

Repitiendo para A y C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}\,\,;}       Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a\,\,;}       Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2a+c=2\,}

y para B y C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\,\,;}       Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b\,\,;}       Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b+2c=2\,}

Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} -a&+&2b & = & 5 \\ -2a&+&c & = & 2 \\ b&+&2c & = & 2 \end{matrix} }

con solución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=-1\qquad b = 2\qquad c=0}

Las posiciones y velocidades completas de los tres puntos son entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\qquad & \vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+2\vec{k} \end{array} }

Vemos que, aunque para conocer el estado de movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres de sus puntos, que en total tienen 9 componentes, solo 6 de esas componentes son necesarias, resultando las otras 3 de la condición de rigidez, como corresponde a que un sólido rígido tenga 6 grados de libertad.

Velocidad en P

A partir de la velocidad de tres puntos no colineales podemos determinar la velocidad angular y la de deslizamiento del sólido, y a partir de ahí la velocidad de cualquier otro punto. No obstante, también podemos hallar la velocidad de un punto P, no coplanario con A, B y C, a partir de la condición de rigidez. Aplicándola al par formado por P y cada uno de los tres puntos conocidos, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P=v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AP}=-\vec{\jmath}-2\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CP}=\vec{\imath}}

Imponiendo ahora la equiproyectividad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP} & =& \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}&\qquad\Rightarrow\qquad \qquad & & v_y & + & 2v_z & = & 2 \\ \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{BP} & =& \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BP}&\qquad\Rightarrow\qquad 2v_x & - & 2v_y & - & v_z & = & 4 \\ \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{CP} & =& \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CP}&\qquad\Rightarrow\qquad \ v_x & & & & & = & 4 \end{matrix}}

con solución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P = 4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}}

Velocidad angular y de deslizamiento

Velocidad angular

Existen varias formas de determinar la velocidad angular del sólido.

Una de ellas consiste en observar que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}}

Esto quiere decir que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}} es ortogonal a las dos diferencias de velocidades y por tanto va en la dirección de su producto vectorial, esto es,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\lambda\left(\vec{v}^B - \vec{v}^A\right)\times\left(\vec{v}^C - \vec{v}^A \right)}

Sustituyendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\lambda\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4 & -5 & 3 \\ -2 & -4 & 3\end{matrix}\right| =\lambda(-3\vec{\imath}+6\vec{\jmath}+6\vec{k})}

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} lo obtenemos sustituyendo en alguna de las ecuaciones anteriores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad -4\vec{\imath}-5\vec{\jmath} + 3\vec{k} = -12\lambda\vec{\imath}-15\lambda\vec{\jmath}+9\lambda\vec{k}}

de donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{1}{3}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}}

Velocidad de deslizamiento

Una vez que tenemos la velocidad angular, podemos hallar la velocidad de deslizamiento a partir de la velocidad de cualquier punto del sólido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d = \frac{\vec{v}^A\cdot\vec{\omega}}{\omega} = \frac{0}{3}=0}

Esto quiere decir que la velocidad de deslizamiento es nula y por tanto el movimiento instantáneo del sólido es de rotación.

EIR

La posición del eje instantáneo de rotación la obtenemos mediante la formula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\qquad\qquad\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^A}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI} =\left(-\frac{1}{9}\vec{\imath}+\frac{11}{9}\vec{\jmath}-\frac{7}{9}\vec{k}\right)+\lambda\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)}

Esta ecuación queda un poco más corta haciendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\left(\frac{1}{9}+\lambda\right) = \mu}

y nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\left(\vec{\jmath}-\vec{k}\right)+\mu\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)}

Otra posibilidad consiste en buscar aquellos puntos cuya velocidad es nula (por tratarse de una rotación). Esto nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} 0 & = & \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AI} & = & 6x+4y-z-5\\ 0 & = & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BI} & = & 2x-y-2z+3\\ 0 & = & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CI} & = & 4x+2z+2 \end{matrix}}

La solución de estas ecuaciones conduce a unas ecuaciones paramétricas equivalentes a la ecuación vectorial anterior.