Tiro parabólico

Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}$

una posición inicial nula (${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$) y una velocidad inicial que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v_{0}$.

1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {g}}t^{2}$

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$

mientras que la velocidad inicial posee módulo $v_{0}\,$ y forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal

${\vec {v}}_{0}=v_{0}\cos(\alpha ){\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}$

lo que nos da el vector de posición en cada instante

${\vec {r}}=(v_{0}\cos \alpha )t\,{\vec {\imath }}+\left((v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha )t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\right){\vec {k}}$

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

${\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=(v_{0}\cos \alpha ){\vec {\imath }}+\left(v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -gt\right){\vec {k}}$

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-g{\vec {k}}$

Posición	Velocidad	Aceleración

Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura

El instante $t_{1}\,$ en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es aquel en el cual el proyectil alcanza su máxima altura. Ésta se alcanza cuando $z$ tiene un máximo, esto es, cuando la componente $z$ de la velocidad es nula

$0={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=v_{z}=v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -gt_{1}\,\,\,$ ⇒  $\,\,\,t_{1}={\frac {v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha }{g}}$

La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

${\vec {r}}_{1}={\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \alpha }{g}}{\vec {\imath }}+{\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\alpha }{2g}}{\vec {k}}\,\,;$        ${\vec {v}}_{1}=v_{0}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}\,\,;$        ${\vec {a}}_{1}=-g\,{\vec {k}}$

Celeridad

La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale

$v_{1}=v_{0}\cos \alpha \,$

Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo

${\vec {T}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{1}}{v_{1}}}={\vec {\imath }}$

Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura

Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

$a_{t}={\vec {a}}\cdot {\vec {T}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}$

Para el instante señalado es

$a_{t1}=0\,$

Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

${\vec {a}}_{t}=({\vec {a}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}={\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {v}}){\vec {v}}}{v^{2}}}$

que nos da

${\vec {a}}_{t1}={\vec {0}}\,$

Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}$

Lo que nos da:

${\vec {a}}_{n1}=-g\,{\vec {k}}$

En módulo, esta aceleración normal vale

$a_{n1}=g\,$

Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}$

y nos da

${\vec {N}}_{1}=-{\vec {k}}$

Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.

Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}$

que da

${\vec {B}}_{1}={\vec {\jmath }}$

El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).

Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}$

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

$R_{1}={\frac {v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }{g}}$

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

lo que nos da, para este punto

${\vec {r}}_{c1}={\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \alpha }{g}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {v_{0}^{2}(\mathrm {sen} ^{2}\alpha -2\cos ^{2}\alpha )}{2g}}\,{\vec {k}}$