Movimiento en un tiro parabólico

Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}$

una posición inicial nula (${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$) y una velocidad inicial que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v_{0}$.

1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
2. Halle el punto donde la partícula impacta con el suelo. ¿Cuál es el alcance máximo para una rapidez inicial dada?
3. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial y en el instante en que se encuentra a mayor altura.
4. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los dos instantes anteriores.
5. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
6. Suponga que se quiere alcanzar un blanco situado a 60 m con un mortero que comunica una rapidez inicial de 25 m/s. ¿Con qué ángulo debe dispararse si en medio se encuentra un eucalipto de 15 m de altura? (supóngase $g\simeq 10\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$)

Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata. Integrando una vez obtenemos la velocidad

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\int _{0}^{t}{\vec {g}}\,\mathrm {d} t={\vec {v}}_{0}+{\vec {g}}t$

y una segunda nos da la posición

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\int _{0}^{t}\left({\vec {v}}_{0}+{\vec {g}}t\right)\,\mathrm {d} t={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {g}}t^{2}$

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$

mientras que la velocidad inicial posee módulo $v_{0}$ y forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal

${\vec {v}}_{0}=v_{0}\cos(\alpha ){\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}\,$

lo que nos da el vector de posición en cada instante

${\vec {r}}=(v_{0}\cos \alpha )t{\vec {\imath }}+\left((v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha )t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\right){\vec {k}}$

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

${\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}=(v_{0}\cos \alpha ){\vec {\imath }}+\left(v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -gt\right){\vec {k}}$

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-g{\vec {k}}$

Posición	Velocidad	Aceleración

Punto de impacto

El proyectil choca de nuevo con el suelo cuando $z=0$, lo que ocurre en el instante

$(v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha )t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=0$ ⇒  $t_{i}={\frac {2v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha }{g}}$

La posición en este instante es

${\vec {r}}(t_{i})=v_{0}\cos(\alpha ){\frac {2v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha }{g}}{\vec {\imath }}={\frac {v_{0}^{2}\mathrm {sen} (2\alpha )}{g}}{\vec {\imath }}$

El máximo alcance para una rapidez dada se consigue cuando el seno vale la unidad, lo cual ocurre para

$\mathrm {sen} (2\alpha )=1\qquad \Rightarrow \qquad \alpha ={\frac {\pi }{4}}=45^{\circ }$

El alcance máximo se produce entonces para un ángulo de 45° con la horizontal y vale

$x_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{g}}$     

Celeridad y vector tangente

Los dos instantes en que debemos calcular las diferentes magnitudes son:

Instante inicial

La partícula despega en $t_{1}=0$.

Punto de máxima altura

La máxima altura se alcanza cuando $z$ tiene un máximo, esto es, cuando la componente $z$ de la velocidad es nula

$0={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=v_{z}=v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -gt$ ⇒  $t_{2}={\frac {v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha }{g}}$

El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura es la mitad del que emplea en impactar de nuevo, como corresponde a que el movimiento es simétrico respecto a este punto, que es el vértice de la parábola.

La posiciones, velocidades y aceleraciones, en estos dos instantes las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Instante inicial

${\vec {r}}_{1}={\vec {0}}$    ${\vec {v}}_{1}=v_{0}\cos \alpha {\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {k}}$    ${\vec {a}}_{1}=-g{\vec {k}}$

Punto de máxima altura

${\vec {r}}_{2}={\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \alpha }{g}}{\vec {\imath }}+{\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\alpha }{2g}}{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{2}=v_{0}\cos \alpha {\vec {\imath }}$    ${\vec {a}}_{2}=-g{\vec {k}}$

Celeridad

la celeridad es el módulo de la velocidad. Para los tres instantes anteriores vale

Instante inicial

$v_{1}=|{\vec {v}}_{1}|={\sqrt {v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha +v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\alpha }}=v_{0}$

Punto de máxima altura

$v_{2}=v_{0}\cos \alpha \,$

Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en cada uno de los instantes dividiendo la velocidad por su módulo

Instante inicial

${\vec {T}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{1}}{v_{1}}}=\cos \alpha {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {k}}$

Punto de máxima altura

${\vec {T}}_{2}={\frac {{\vec {v}}_{2}}{v_{2}}}={\vec {\imath }}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

$a_{t}={\vec {a}}\cdot {\vec {T}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}$

Para los dos instantes señalados es

Instante inicial

$a_{t1}=-g\,\mathrm {sen} \,\alpha$

Punto de máxima altura

$a_{t2}=0\,$

Vemos que, aunque la aceleración es constante, la aceleración tangencial no lo es. En el instante inicial es negativa, lo que indica que la partícula se está frenando. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola y a partir de ahí comienza a aumentar. En el punto de impacto la aceleración tangencial es positiva, lo que indica que la partícula se mueve cada vez más rápido.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

${\vec {a}}_{t}=({\vec {a}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}={\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {v}}){\vec {v}}}{v^{2}}}$

que nos da

Instante inicial

${\vec {a}}_{t1}=-g\,\mathrm {sen} \,\alpha (\cos \alpha {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {k}})$

Punto de máxima altura

${\vec {a}}_{t2}={\vec {0}}\,$

Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial en cada uno de los puntos calculamos la aceleración normal restando

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}$

Lo que nos da, en cada uno de los dos casos que estamos considerando

Instante inicial

${\vec {a}}_{n1}=-g{\vec {k}}+g\,\mathrm {sen} \,\alpha (\cos \alpha {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {k}})=g\cos \alpha (\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {\imath }}-\cos \alpha {\vec {k}})$

Punto de máxima altura

${\vec {a}}_{n2}=-g{\vec {k}}$

En módulo, estas aceleraciones normales valen

Instante inicial

$a_{n1}=g\cos \alpha \,$

Punto de máxima altura

$a_{n2}=g\,$

Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}$

y nos da

Instante inicial

${\vec {N}}_{1}=\mathrm {sen} \,\alpha {\vec {\imath }}-\cos \alpha {\vec {k}}$

Punto de máxima altura

${\vec {N}}_{2}=-{\vec {k}}$

Vemos que en todos los casos el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que estos vectores son ortogonales a los vectores tangentes en cada caso.

Radio y centro de curvatura

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}$

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

$R={\frac {v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }{g}}$

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

lo que nos da, para este punto

${\vec {r}}_{c}={\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \alpha }{g}}{\vec {\imath }}+{\frac {v_{0}^{2}(\mathrm {sen} ^{2}\alpha -2\cos ^{2}\alpha )}{2g}}{\vec {k}}$

Caso práctico

Según vimos, el alcance del proyectil es igual a

$x_{i}={\frac {v_{0}^{2}\mathrm {sen} (2\alpha )}{g}}$

Despejando aquí y sustituyendo los datos proporcionados

$\mathrm {sen} (2\alpha )={\frac {gx_{i}}{v_{0}^{2}}}\simeq {\frac {24}{25}}=0.96$

Para este valor del seno existen dos soluciones posibles en el intervalo (0,π/2)

$\alpha _{1}={\frac {1}{2}}\,\mathrm {arcsen} (0.96)=0.644\,\mathrm {rad} \qquad \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\left(\pi -\mathrm {arcsen} (0.96)\right)=0.927\,\mathrm {rad}$

La diferencia entre estas dos soluciones es la altura máxima alcanzada por el proyectil.

La altura máxima se alcanza a mitad de camino y su valor es

$z_{\mathrm {max} }=v_{0}\,\mathrm {sen} (\alpha )t_{2}-{\frac {1}{2}}gt_{2}^{2}={\frac {v_{0}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\alpha )}{2g}}$

que para los ángulos indicados nos da

$z_{\mathrm {max} 1}=11.25\,\mathrm {m} \qquad z_{\mathrm {max} 2}=20.0\,\mathrm {m}$

Vemos entonces que si queremos esquivar el obstáculo debemos emplear el segundo ángulo de tiro.