Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante
una posición inicial nula (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0=\vec{0}}
) y una velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal y tiene rapidez inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
.
Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Halle el punto donde la partícula impacta con el suelo. ¿Cuál es el alcance máximo para una rapidez inicial dada?
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial y en el instante en que se encuentra a mayor altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los dos instantes anteriores.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
Suponga que se quiere alcanzar un blanco situado a 60 m con un mortero que comunica una rapidez inicial de 25 m/s. ¿Con qué ángulo debe dispararse si en medio se encuentra un eucalipto de 15 m de altura? (supóngase Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\simeq 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
)
Posición, velocidad y aceleración
Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata. Integrando una vez obtenemos la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0+\int_0^t \vec{g}\,\mathrm{d}t = \vec{v}_0+\vec{g}t}
y una segunda nos da la posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{r}_0+\int_0^t\left(\vec{v}_0+\vec{g}t\right)\,\mathrm{d}t = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2}
La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0 =\vec{0}}
mientras que la velocidad inicial posee módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
y forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}
con la horizontal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}\,}
lo que nos da el vector de posición en cada instante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}}
Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}}
La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.
Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}}
Posición
Velocidad
Aceleración
Punto de impacto
El proyectil choca de nuevo con el suelo cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0}
, lo que ocurre en el instante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2=0}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_i=\frac{2v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}}
La posición en este instante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t_i)=v_0\cos(\alpha)\frac{2v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}\vec{\imath}=\frac{v_0^2\mathrm{sen}(2\alpha)}{g}\vec{\imath}}
El máximo alcance para una rapidez dada se consigue cuando el seno vale la unidad, lo cual ocurre para
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(2\alpha)=1\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \frac{\pi}{4}=45^\circ}
El alcance máximo se produce entonces para un ángulo de 45° con la horizontal y vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{g}}
Celeridad y vector tangente
Los dos instantes en que debemos calcular las diferentes magnitudes son:
Instante inicial
La partícula despega en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1=0}
.
Punto de máxima altura
La máxima altura se alcanza cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
tiene un máximo, esto es, cuando la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
de la velocidad es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_2 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}}
El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura es la mitad del que emplea en impactar de nuevo, como corresponde a que el movimiento es simétrico respecto a este punto, que es el vértice de la parábola.
La posiciones, velocidades y aceleraciones, en estos dos instantes las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=\vec{0}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=-g\vec{k}}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2=v_0\cos\alpha\vec{\imath}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_2=-g\vec{k}}
Celeridad
la celeridad es el módulo de la velocidad. Para los tres instantes anteriores vale
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1 = |\vec{v}_1| = \sqrt{v_0^2\cos^2\alpha+v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}=v_0}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2 = v_0\cos\alpha\,}
Vector tangente
Obtenemos el vector tangente en cada uno de los instantes dividiendo la velocidad por su módulo
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k}}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_2 = \frac{\vec{v}_2}{v_2}=\vec{\imath}}
Componentes intrínsecas de la aceleración
Aceleración tangencial
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente
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Para los dos instantes señalados es
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{t1}=-g\,\mathrm{sen}\,\alpha}
Punto de máxima altura
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Vemos que, aunque la aceleración es constante, la aceleración tangencial no lo es. En el instante inicial es negativa, lo que indica que la partícula se está frenando. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola y a partir de ahí comienza a aumentar. En el punto de impacto la aceleración tangencial es positiva, lo que indica que la partícula se mueve cada vez más rápido.
En forma vectorial la aceleración tangencial es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{v^2}}
que nos da
Instante inicial
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Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{t2}=\vec{0}\,}
Aceleración normal
Una vez que tenemos la aceleración tangencial en cada uno de los puntos calculamos la aceleración normal restando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t}
Lo que nos da, en cada uno de los dos casos que estamos considerando
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{n1}=-g\vec{k}+g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})=g\cos\alpha(\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k})}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{n2}=-g\vec{k}}
En módulo, estas aceleraciones normales valen
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n1}=g\cos\alpha\,}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n2}=g\,}
Vector normal
El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}}
y nos da
Instante inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_{1}=\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k}}
Punto de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_{2}=-\vec{k}}
Vemos que en todos los casos el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que estos vectores son ortogonales a los vectores tangentes en cada caso.
Radio y centro de curvatura
Radio de curvatura
Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como
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Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura
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El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal
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lo que nos da, para este punto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_{c}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\vec{k}}
Caso práctico
Según vimos, el alcance del proyectil es igual a
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Despejando aquí y sustituyendo los datos proporcionados
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(2\alpha) = \frac{gx_i}{v_0^2}\simeq\frac{24}{25}=0.96}
Para este valor del seno existen dos soluciones posibles en el intervalo (0,π/2)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1 =\frac{1}{2}\,\mathrm{arcsen}(0.96)=0.644\,\mathrm{rad}\qquad \alpha_2 =\frac{1}{2}\left(\pi-\mathrm{arcsen}(0.96)\right)=0.927\,\mathrm{rad}}
La diferencia entre estas dos soluciones es la altura máxima alcanzada por el proyectil.
La altura máxima se alcanza a mitad de camino y su valor es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_\mathrm{max}= v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)t_2-\frac{1}{2}gt_2^2 = \frac{v_0^2\mathrm{sen}^2(\alpha)}{2g}}
que para los ángulos indicados nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{\mathrm{max}1}=11.25\,\mathrm{m}\qquad z_{\mathrm{max}2}=20.0\,\mathrm{m}}
Vemos entonces que si queremos esquivar el obstáculo debemos emplear el segundo ángulo de tiro.
