Aparcamiento de un vehículo (MRGIC)

Enunciado

Aparcamiento de un vehículo

La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea $ABCD$ de masa $m$ y dimensiones $a\times b$ (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice $A$ se desplaza sobre el eje fijo $O_{1}X_{1}$, el vértice contiguo $B$ persigue a $A$ de modo que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{B}$ es colineal en todo instante con el lado $AB$. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida ${\vec {F}}=F(t)\,{\vec {\imath }}_{2}$, aplicada en el centro de masas $G$ de la placa.

1. Demuestra que los parámetros geométricos $x$ y $\theta$ verifican en todo instante la relación ${\dot {x}}\operatorname {sen} \theta +a{\dot {\theta }}=0$.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética $T$.
3. Verifica que el vínculo del primer apartado es integrable y, trabajando con una sola coordenada generalizada, obtén las ecuaciones de movimiento del sistema mecánico descrito.

Solución

Cinemática y vínculo

La velocidad de rotación de la placa y la velocidad de su punto $A$ son

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Aparecen dos coordenadas en la reducción cinemática, $\{x,\theta \}$. Sin embargo, aún no hemos aplicado la ligadura que obliga al punto $B$ a moverse de modo que su velocidad apunte siempre hacia el punto $A$. Tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}.$

El vector geométrico es

${\overrightarrow {AB}}=-a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=({\dot {x}}+a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+a{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Imponemos ahora que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ y ${\overrightarrow {AB}}$. Deben ser paralelos. Una forma es hacer su producto vectorial e igualarlo a cero. Otra forma, equivalente, es imponer que sus componentes sean proporcionales. Es decir

${\dfrac {{\dot {x}}+a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta }{-a\cos \theta }}={\dfrac {a{\dot {\theta }}\cos \theta }{a\,\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow {\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta +a{\dot {\theta }}=0.$

Este vínculo es cinemático e integrable, esto es, es holónomo. Podemos integrarlo como sigue

${\dot {x}}=-a{\dfrac {\dot {\theta }}{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow \mathrm {d} x=-a{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=-\int a{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow x=-a\log(\tan \theta )+C,$

donde $C$ es una constante de integración que debe ser calculada a partir de una condición inicial.

Así pues, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Usaremos la coordenada $\{\theta \}$ para trabajar.

Energía cinética

Calculamos la energía cinética usando el centro de masas, y usando que es un movimiento plano

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}.$

Calculamos la velocidad en el centro de masas usando el Teorema de Chasles. En este caso es mas sencillo trabajar con la base del sólido "2".

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=\left({\dot {x}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2}}b{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {\imath }}_{2}+\left({\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dfrac {1}{2}}a{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

Aquí hemos usado que

${\overrightarrow {AG}}=-{\dfrac {1}{2}}a\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dfrac {1}{2}}b\,{\vec {\jmath }}_{2},$

y que

${\vec {\imath }}_{1}=\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}$

para convertir la velocidad en $A$ a la base 2.

El momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje perpendicular a ella que pase por su centro de masas es

$I={\dfrac {1}{12}}m\,(a^{2}+b^{2}).$

Entnoces, la energía cinética es, expresada en función de la coordenada $\theta$,

$T={\dfrac {1}{6}}m{\dot {\theta }}^{2}\left(4a^{2}+b^{2}-3ab{\dfrac {\cos \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}+{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right).$

Ecuaciones de movimiento

El centro de masas de la placa está siempre a la misma altura. Entonces, la energía potencial gravitatoria es constante y no tiene influencia en el problema. Podemos elegir que su valor sea nulo. La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{6}}m{\dot {\theta }}^{2}\left(4a^{2}+b^{2}-3ab{\dfrac {\cos \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}+{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right).$

Hay una fuerza no conservativa actuando en el centro de masas

${\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}_{2}.$

Entonces, la ecuación de Lagrange es

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \theta }}=Q_{\theta }^{NC}.$

La fuerza generalizada no conservativa es

$Q_{\theta }^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,G}}{\partial {\dot {\theta }}}}$

Hay que expresar la velocidad del centro de masas en términos del grado de libertad. Usando el vínculo cinemático que hemos encontrado antes tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,G}=\left({\dfrac {1}{2}}b-a\cot \theta \right){\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{2}-{\dfrac {1}{2}}a{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

La fuerza generalizada no conservativa es

$Q_{\theta }^{NC}=F\,\left({\dfrac {1}{2}}b-a\cot \theta \right).$

Finalmente, la ecuación diferencial de movimiento es

$\left(4a^{2}+b^{2}-3ab\cot \theta +{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right)\,{\ddot {\theta }}+{\dfrac {3}{2}}\,\left(ab-2a^{2}\cot \theta \right){\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}={\dfrac {3F}{2m}}\,(b-2a\cot \theta ).$