Partícula en cono (CMR)

Enunciado

Una partícula está obligada a moverse por la superficie interior de un cono que tiene su vértice en el origen y que tiene un semiángulo de apertura β, es decir, la superficie del cono es, en cilíndricas $z=\rho /\tan(\beta )$. La partícula se mueve sin rozamiento por esta superficie y se halla sometida a la acción de la gravedad, que va en la dirección y sentido del eje OZ negativo

1. Obtenga las ecuaciones de movimiento para esta partícula, empleando como coordenadas las cilíndricas, introduciendo las fuerzas de reacción oportunas.
2. Reduzca este sistema a dos ecuaciones, una para la distancia al vértice, $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ y otra para el ángulo θ, de manera que no aparezcan ρ, z ni la reacción.
3. ¿A qué velocidad debe moverse la partícula si se desea que describa un movimiento circular horizontal, a una altura H respecto al vértice? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción en ese caso?
4. Supongamos que parte de una altura H con una velocidad horizontal menor que la del apartado anterior. ¿Cuánto vale la mínima altura a la que llega la partícula?

Ecuaciones de movimiento

En forma vectorial, la segunda ley de Newton queda

$m{\vec {a}}={\vec {F}}_{n}+m{\vec {g}}$

siendo ${\vec {F}}_{n}$ la fuerza normal al cono. Esta fuerza posee una componente $F_{n}\cos(\beta )$ en la dirección radial y una $F_{n}\mathrm {sen} (\beta )$ en la dirección vertical hacia arriba.

Si escribimos esta ecuación en coordenadas cilíndricas, tenemos, separando por componentes

$\left\{{\begin{array}{rcrcl}\rho :&\qquad &m\left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}\right)&=&-F_{n}S\\\theta :&\qquad &m(2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}+\rho {\ddot {\theta }})&=&0\\z:&\qquad &m{\ddot {z}}&=&F_{n}S-mg\end{array}}\right.$

donde $S=\mathrm {sen} (\beta )$ y $C=\cos(\beta )$, que en este problema son dos constantes.

Obsérvese que en la ecuación en la componente θ el segundo miembro es nulo, ya que ni la fuerza normal ni el peso tienen componente en esta dirección.

En estas ecuaciones ρ y z no son independientes, sino que están relacionados por la ecuación de vínculo

${\frac {\rho }{z}}=\mathrm {tg} (\beta )\qquad \Rightarrow \qquad -Sz+C\rho =0$

Reducción de las ecuaciones

En las ecuaciones anteriores puede, con ayuda de la ecuación de vínculo, llegarse a ecuaciones separadas para ρ y z, pero es más sencillo hacer un cambio de variable como el sugerido aquí.

Introduciendo la distancia al vértice queda

$\rho =rS\qquad \qquad z=rC$

y, si sustituimos en las ecuaciones de movimiento

$\left\{{\begin{array}{rcrcl}\rho :&\qquad &m\left({\ddot {r}}S-rS{\dot {\theta }}^{2}\right)&=&-F_{n}C\\\theta :&\qquad &m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}S+rS{\ddot {\theta }})&=&0\\z:&\qquad &m{\ddot {r}}C&=&F_{n}S-mg\end{array}}\right.$

Eliminamos la rearcción normal al cono multiplicando la primera por el seno, la segunda por el coseno y sumando. Queda

$m({\ddot {r}}(S^{2}+C^{2})-rS^{2}{\dot {\theta }}^{2})=-mgC\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-rS^{2}{\dot {\theta }}^{2}=-gC$

que, junto con la segunda simplificada

$2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}=0$

es el sistema de ecuaciones buscado.

Circunferencias horizontales

Para que haya circunferencias horizontales, la distancia r debe ser una constante, de valor

$r={\frac {H}{C}}\qquad \qquad {\dot {r}}=0\qquad \qquad {\ddot {r}}=0$

Llevando esto a las ecuaciones de movimiento queda

$0-{\frac {H}{C}}S^{2}{\dot {\theta }}^{2}=-gC\qquad \qquad 0+{\frac {H}{C}}{\ddot {\theta }}=0$

De la segunda se deduce, integrando, que

${\dot {\theta }}=\Omega =\mathrm {cte}$

y, sustituyendo en la primera ecuación

$-{\frac {H}{C}}S^{2}\Omega ^{2}=-gC\qquad \Rightarrow \qquad \Omega ={\sqrt {\frac {g}{H}}}\,{\frac {C}{S}}$

Esta es la velocidad angular con la que debe dar vueltas. la velocidad lineal es esta, multiplicada por el radio

$v_{c}=\Omega \rho =\Omega H\,\mathrm {tg} (\beta )={\sqrt {gH}}$

Es llamativo que la velocidad no dependa de la apertura del cono.

Se puede llegar a este resultado simplemente aplicando que en este caso el peso y la reacción producen una aceleración puramente normal

$-m{\frac {v_{c}^{2}}{R}}{\vec {u}}_{\rho }=-F_{n}C{\vec {u}}_{\rho }+(F_{n}S-mg){\vec {k}}$

de donde

$F_{n}={\frac {mg}{S}}\qquad \qquad v_{c}^{2}={\frac {F_{n}CR}{m}}={\frac {gRC}{S}}=gH\qquad \Rightarrow \qquad v_{c}={\sqrt {gH}}$

Mínima distancia al vértice

Este apartado es bastante más complicado que los anteriores y requiere el uso de constantes de movimiento.

Partimos del sistema de ecuaciones de movimiento

${\begin{array}{rcl}{\ddot {r}}-rS^{2}{\ddot {\theta }}^{2}&=&-gC\\2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}=0\end{array}}$

De estas dos ecuaciones se deduce la conservación de la energía mecánica

${\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}S^{2}{\dot {\theta }}^{2})+mgrC=E$

y de la cantidad, relacionada con el momento cinético,

$r^{2}{\dot {\theta }}=\ell$

Se puede comprobar derivando cada una de estas cantidades respecto al tiempo y sustituyendo las ecuaciones de movimiento.

Los valores de estas cantidades los sacamos de las condiciones iniciales

$r={\frac {H}{C}}\qquad {\dot {r}}=0\qquad {\dot {\theta }}={\frac {v_{0}}{R}}={\frac {v_{0}C}{HS}}$

de donde

${\frac {1}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}S^{2}{\dot {\theta }}^{2})+grC={\frac {1}{2}}v_{0}^{2}+gH$

y

$r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {Hv_{0}}{CS}}$

Los puntos de máxima y mínima distancia cumplen que r es un máximo o mínimo, es decir, que ${\dot {r}}=0$. Para estos puntos

${\frac {1}{2}}(r^{2}S^{2}{\dot {\theta }}^{2})+grC={\frac {1}{2}}v_{0}^{2}+gH$

y

$r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {Hv_{0}}{CS}}$

Despejamos de la segunda ${\dot {\theta }}$ y sustituimos en la primera

${\frac {1}{2}}\left({\frac {H^{2}v_{0}^{2}}{C^{2}r^{2}}}\right)+grC={\frac {1}{2}}v_{0}^{2}+gH$

Multiplicamos por $r^{2}$ y resulta una ecuación de tercer grado

$r^{3}(gC)-\left({\frac {1}{2}}v_{0}^{2}+gH\right)r^{2}+{\frac {H^{2}v_{0}^{2}}{2C^{2}}}=0$

La solución de una ecuación de tercer grado es normalmente muy complejo, pero en este caso conocemos una solución, ya que la partícula parte de r máximo, luego

$r_{\mathrm {max} }={\frac {H}{C}}$

Esto permite simplificar la cúbica mediante Ruffini. Queda una ecuación de segundo grado una de cuyas raíces es la distancia mínima buscada. La otra tiene un valor negativo, que no tiene sentido en este caso.