Masa girando alrededor de una mano

Enunciado

Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.

Solución

La masa realiza su movimiento circular como consecuencia de la acción de dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda

$m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T}=m{\vec {a}}$

El peso va en la dirección vertical

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}$

mientras que la tensión va en la dirección de la cuerda y por tanto tiene una componente radial hacia adentro y otra vertical hacia arriba. Si $\phi$ es el ángulo que el hilo forma con la horizontal, la tensión se escribe

${\vec {F}}_{T}=F_{T}\left(-\cos(\phi ){\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {k}}\right)$

Por último, la aceleración en un movimiento circular uniforme es puramente radial y hacia adentro, siendo su módulo proporcional al radio de la circunferencia y al cuadrado de la velocidad angular

$m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}R{\vec {u}}_{\rho }$

aquí $R$ no es la longitud de la cuerda, sino el radio de la circunferencia. Este se relaciona con la longitud $b$ de la cuerda por

$R=b\cos(\phi )\,$

La velocidad angular la hallamos sabiendo que el enunciado nos da la frecuencia natural (2 vueltas por segundo, esto es 2 Hz).

Sustituyendo todo esto en la ecuación de movimiento queda

$-mg{\vec {k}}+F_{T}\left(-\cos(\phi ){\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {k}}\right)=-m\omega ^{2}b\cos(\phi ){\vec {u}}_{\rho }$

Igualando componente a componente

$\left\{{\begin{array}{rcl}-F_{T}\cos(\phi )&=&-m\omega ^{2}b\cos(\phi )\\&&\\-mg+F_{T}\mathrm {sen} (\phi )&=&0\end{array}}\right.$

De la primera de estas dos obtenemos la tensión

$F_{T}=m\omega ^{2}b\,$

y, conocida la tensión, hallamos el ángulo con la horizontal

$\mathrm {sen} (\phi )={\frac {mg}{F_{T}}}={\frac {g}{\omega ^{2}b}}$

Vemos que el ángulo es independiente de la masa de la bola, y que existe un valor inferior para la velocidad angular, ya que si es demasiado baja implicaría un seno mayor que la unidad, lo que no es posible.

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos el valor numérico de la velocidad angular

$\omega =2\pi f=4\pi \,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

la tensión

$F_{T}=(0.5\,\mathrm {kg} )\left(4\pi \,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right)^{2}(0.5\,\mathrm {m} )=39.5\,\mathrm {N}$

y el ángulo con la horizontal.

$\mathrm {sen} (\phi )={\frac {9.81\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{(4\pi \mathrm {s} ^{-1})^{2}(0.5\,\mathrm {m} )}}=0.124\qquad \Rightarrow \qquad \phi =0.124\,\mathrm {rad} =7.13^{\circ }$