Cinética y geometría de masas (CMR)

Introducción

A la hora de establecer las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido se debe, en primer lugar, definir qué magnitudes lo caracterizan, para poder escribir correctamente las ecuaciones de evolución.

Masa

En cinemática del sólido rígido no es necesario considerar la extensión real del sólido. Puede describirse el campo de velocidades suponiendo que se extiende a todos los puntos del espacio tanto interiores como exteriores al sólido, sin importar si en estos puntos existe una partícula material o no.

En dinámica, en cambio, sí es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen $V$ que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas $m_{i}$ de forma que el sólido posee una masa total

$M=m_{1}+m_{2}+\cdots =\sum _{i}m_{i}$

Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen $\mathrm {d} V$ existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa

$\mathrm {d} m=\rho \,\mathrm {d} V\qquad \Rightarrow \qquad M=\int _{M}\mathrm {d} m=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V$

En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y

$M=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V=\rho _{0}\int _{V}\mathrm {d} V=\rho _{0}V$

 

Volúmenes de sólidos homogéneos

Así para sólidos homogéneos de formas:

• Prisma rectangular:

$M=\rho {abc}\,$

• Cilindro

$M=\pi \rho {R}^{2}h\,$

• Esfera

$\,M={\frac {4\pi }{3}}\rho R^{3}$

En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, $\sigma$,

$\mathrm {d} m=\sigma \,\mathrm {d} S\qquad \Rightarrow \qquad M=\int _{M}\mathrm {d} m=\int _{S}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} S$

que, para el caso de un sólido homogéneo nos da

$M=\sigma \,S$

 

Masa de un folio

Así, por ejemplo, para una hoja tamaño A4 de 80 g/m² su masa es

$M={\sigma \,b\,h}=80\,{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{2}}}(210\,\mathrm {mm} )(297\,\mathrm {mm} )\left({\frac {1\,\mathrm {m} }{1000\,\mathrm {mm} }}\right)^{2}=5.0\,\mathrm {g}$

 

Superficies cilíndrica y esférica

Aplicando las fórmulas del área de una superficie cilíndrica o esférica obtenemos las masas

$M={2\pi }\sigma \,R\,h\quad {\mbox{(cilindro)}}\qquad \qquad M={4\pi }\sigma R^{2}\quad {\mbox{(esfera)}}$

Análogamente, existen sólidos que pueden suponerse lineales (como un alambre o varilla), en cuyo caso se define la densidad lineal de masa, $\mu$

$\mathrm {d} m=\mu \,\mathrm {d} l\qquad \qquad M=\int _{L}\mu \,\mathrm {d} l$

Centro de masas

Como con cualquier otro sistema de partículas, un sólido rígido se caracteriza por tener un centro de masas cuya posición es una media ponderada de las posiciones de las partículas que lo componen

${\vec {r}}_{G}={\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}$

En el caso de una distribución continua, el sumatorio se sustituye por una integral

${\vec {r}}_{G}={\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{M}}\int _{M}{\vec {r}}\,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}\,\mathrm {d} V$

A la hora de localizar el centro de masas de un sólido es importante hacer uso de las simetrías del sólido:

• Si el sólido es simétrico respecto a un determinado plano, el CM se encuentra contenido en el plano de simetría.
• Si el sólido es simétrico respecto a dos o más planos, el CM se encuentra en la intersección de los distintos planos de simetría.
• Si el sólido es una figura de revolución en torno a un eje dado, el CM se halla sobre el eje de revolución.

Momento y tensor de inercia

En las expresiones del momento cinético y de la energía cinética aparecen otras cantidades relacionadas con la masa y las posiciones: los momentos de inercia y los productos de inercia.

Definición

Dado un sólido rígido, se define su momento de inercia respecto a un eje como la cantidad

$I=\sum _{i}m_{i}R_{i}^{2}\,$

donde $R_{i}$ es la distancia de una partícula $m_{1}$ al eje. En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

$I=\int _{M}R({\vec {r}})^{2}\,\mathrm {d} m$

donde $R$ será en general diferente para cada elemento de masa $\mathrm {d} m$.

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momentos de inercia

$I_{xx}=\int _{m}(y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} m\qquad \qquad I_{yy}=\int _{m}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} m\qquad I_{zz}=\int _{m}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} m$

Productos de inercia

Además de los momentos de inercia, se definen los productos de inercia como

$P_{xy}=\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}\qquad \qquad P_{xz}=\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}\qquad \qquad P_{yz}=\sum _{i}m_{i}y_{i}z_{i}\,$

Estas cantidades son de interés porque aparecen en la expresión general del momento cinético de un sistema.

El tensor de inercia

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y los productos de inercia se combinan en el denominado tensor de inercia

${\overline {\overline {I}}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&-P_{xy}&-P_{xz}\\-P_{xy}&I_{yy}&-P_{yz}\\-P_{xz}&-P_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}}$

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sólido es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen

${\vec {p}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{21}^{P_{i}}$

Por tratarse de un sólido, estas velocidades verifican el teorema de Chasles

${\vec {v}}_{21}^{P_{i}}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OP}}_{i}$

lo cual, al sustituir en la expresión de la cantidad de movimiento, nos da

${\vec {p}}=\left(\sum _{i}m_{i}\right){\vec {v}}_{21}^{0}+{\vec {\omega }}_{21}\times \left(\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}\right)$

El primero de los dos paréntesis es la masa total del sólido, mientras que el segundo nos da la posición del centro de masas

${\vec {p}}=M{\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times \left(M{\overrightarrow {OG}}\right)=M\left({\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}}\right)$

Por otro lado, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se relaciona con la velocidad del centro de masas

${\vec {p}}=M{\vec {v}}_{21}^{G}$

Igualando ambas expresiones obtenemos la velocidad del centro de masas del sólido

${\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}}$

Esta igualdad simplemente nos dice que el centro de masas se mueve rígidamente con el sólido estando siempre en la misma posición relativa a éste (aunque el CM puede no coincidir con ninguna de las partículas del sólido, se mueve como una más de ellas).

Momento cinético

El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen

${\vec {L}}_{O}=\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}\times {\vec {v}}_{21}^{P_{i}}$

Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas

${\vec {L}}_{O}=M{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {v}}_{21}^{G}+{\vec {L}}_{G}$

siendo

${\vec {L}}_{G}=\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {GP}}_{i}\times \left({\vec {v}}_{21}^{P_{i}}-{\vec {v}}_{21}^{G}\right)$

Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido,

${\vec {v}}_{21}^{P_{i}}-{\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GP}}_{i}$

nos queda

${\vec {L}}_{G}=\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {GP}}_{i}\times \left({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GP}}_{i}\right)$

Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que consideraremos en primer lugar los casos más sencillos.

Supongamos una partícula $m_{1}$ que describe una circunferencia de radio $R_{1}$ en torno al CM con velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$. El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|{\vec {L}}_{C1}|=m_{1}|{\vec {r}}'_{1}||{\vec {v}}'_{1}|=m_{1}(R_{1})(\omega R_{1})=m_{1}R_{1}^{2}\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

${\vec {L}}_{C1}=m_{1}R_{1}^{2}{\vec {\omega }}_{21}$

Si ahora consideramos un sólido simétrico (como un disco, una esfera o un cilindro) que gira en torno un eje dado que pasa por el CM, cada uno de los puntos contribuye de manera análoga y el momento cinético total respecto al CM vale

${\vec {L}}_{G}=\left(m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}^{2}+\cdots \right){\vec {\omega }}_{21}=I{\vec {\omega }}_{21}$

siendo $R_{i}$ la distancia de cada punto al eje e $I$ el momento de inercia respecto al eje de giro.

Esta igualdad nos dice que el momento cinético de un sólido simétrico respecto a un eje que pasa por su CM es proporcional a la velocidad angular con la que gira, de manera análoga a cómo la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad del CM. La constante de proporcionalidad es el momento de inercia, que desempeña el papel de la masa en cuanto a medida de la inercia del sólido respecto a una rotación.

La igualdad anterior no siempre es cierta, ya que para una partícula el momento cinético respecto a un punto que no es el centro de la circunferencia que describe (aunque sea del eje de rotación) no será en general paralelo a la velocidad angular. Sólo para sólidos que tienen este eje como de simetría se cancelan las componentes no paralelas y resulta una situación de paralelismo entre ${\vec {L}}_{G}$ y ${\vec {\omega }}_{21}$. Un ejemplo sencillo donde el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular es el de un rotor desequilibrado.

Cuando se calcula el momento cinético de un sistema general, el término debido a la rotación es de la forma

${\vec {L}}_{G}=\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {GP}}_{i}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GP}}_{i})$

Si, por simplicidad, consideramos la velocidad angular en la dirección del eje OZ

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{z}{\vec {k}}\qquad {\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {GP}}_{i}=\omega _{z}(-y_{i}{\vec {\imath }}+x_{i}{\vec {\jmath }})$

 

${\overrightarrow {GP}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {GP}}_{i})=\omega _{z}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\x_{i}&y_{i}&z_{i}\\-y_{i}&x_{i}&0\end{matrix}}\right|=(-x_{i}z_{i}{\vec {\imath }}-y_{i}z_{i}{\vec {\jmath }}+(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){\vec {k}})\omega _{z}$

Llevando esto al sumatorio nos queda, en función de los momentos y productos de inercia

${\vec {L}}_{G}=-P_{xz}\omega _{z}{\vec {\imath }}-P_{yz}\omega _{z}{\vec {\jmath }}+I_{zz}\omega _{z}{\vec {k}}$

De manera análoga se obtiene el resultado suponiendo una velocidad angular según el eje OX y según el eje OY. La solución general será una superposición de los tres casos.

${\vec {L}}_{O}=(I_{xx}\omega _{x}-P_{xy}\omega _{u}-P_{xz}\omega _{z}){\vec {\imath }}+(-P_{xy}\omega _{x}+I_{yy}\omega _{y}-P_{yz}\omega _{z}){\vec {\jmath }}+(-P_{xz}\omega _{x}-P_{yz}\omega _{y}+I_{zz}\omega _{z}){\vec {k}}$

que podemos escribir en la forma matricial

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&-P_{xy}&-P_{xz}\\-P_{xy}&I_{yy}&-P_{yz}\\-P_{xz}&-P_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

la matriz que relaciona el momento cinético con la velocidad angular es una representación del tensor de inercia

${\overline {\overline {I}}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&-P_{xy}&-P_{xz}\\-P_{xy}&I_{yy}&-P_{yz}\\-P_{xz}&-P_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}}$

y queda la expresión vectorial para el momento cinético respecto al CM

${\vec {L}}_{G}={\overline {\overline {I}}}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

y para un punto fijo

${\vec {L}}_{O}=M{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {v}}_{21}^{G}+{\overline {\overline {I}}}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

Sólido con un punto fijo

Si tenemos un sólido con un punto fijo O (caso de una peonza o de un péndulo compuesto, por ejemplo) o que gira alrededor de un eje fijo (caso de un rotor), se cumple

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {0}}$

En ese caso, el momento cinético respecto a este punto puede reducirse a

${\vec {L}}_{O}={\overline {\overline {I}}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

donde ahora el tensor de inercia está calculado empleando las distancias a un sistema de ejes centrado en O, en lugar de en el centro de masas. Para pasar los momentos de inercia de G a O o viceversa es de aplicación el teorema de Steiner.

Energía cinética

la energía cinética de un sistema es la suma de las energías cinéticas individuales

$K={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}\left|{\vec {v}}_{21}^{P_{i}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{21}^{P_{i}}\cdot {\vec {v}}_{21}^{P_{i}}$

Sustituyendo una de las velocidades por la expresión del campo de velocidades respecto un punto O

$K={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}({\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OP}}_{i})\cdot {\vec {v}}_{21}^{P_{i}}$

y si aquí sacamos factores comunes

$K={\frac {1}{2}}{\vec {v}}_{21}^{O}\cdot \left(\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{21}^{P_{i}}\right)+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot \left(\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}\times {\vec {v}}_{21}^{P_{i}}\right)$

y aplicando las definiciones de la cantidad de movimiento y del momento cinético

$K={\frac {1}{2}}{\vec {v}}_{21}^{O}\cdot {\vec {p}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{O}$

Esta relación es independiente del centro de reducción que se tome. En particular, puede ser el centro de masas, ya que

$K={\frac {1}{2}}{\vec {p}}\cdot \left({\vec {v}}_{21}^{G}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GO}}\right)+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{O}={\frac {1}{2}}{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}_{21}^{G}+{\vec {\omega }}_{21}\cdot \left({\vec {L}}_{O}+{\vec {p}}\times {\overrightarrow {OG}}\right)={\frac {1}{2}}{\vec {v}}_{21}^{G}\cdot {\vec {p}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{G}$

La relación

$K={\frac {1}{2}}{\vec {v}}_{21}^{G}\cdot {\vec {p}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{G}={\frac {1}{2}}M\left|{\vec {v}}_{21}^{G}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{G}$

es un caso particular de la descomposición de la energía cinética en dos partes:

$K=K_{T}+K_{R}\,$

• Una energía cinética de traslación, que sería la que tendría el sólido si todo él se moviera como el centro de masas

$K_{T}={\frac {1}{2}}M\left|{\vec {v}}_{21}^{G}\right|^{2}$

• Una energía cinética de movimiento alrededor del centro de masas, que en el caso de un sólido sólo puede ser energía cinética de rotación (ya que no hay deformaciones)

$K_{R}=K'={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{G}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\overline {\overline {I}}}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

En el caso particular de un sólido que gira en torno a un eje tal que el momento cinético es paralelo a la velocidad angular, esto se reduce a

$K_{R}={\frac {1}{2}}I\left|{\vec {\omega }}_{21}\right|^{2}$

Energía potencial

En un sistema de partículas libres, el concepto de energía potencial es difícil de definir, ya que debe tener en cuenta la energía debida a las interacciones entre las partículas del sistema (por ejemplo, la energía eléctrica debida a la presencia de partículas cargadas), y esta es dependiente de las posiciones relativas de las partículas.

En un sólido rígido, en cambio, al ser fijas las distancias entre partículas, la energía de interacción interna permanece constante y no interviene en la dinámica del sistema. Por ello, podemos restringirnos a usar la energía potencial debida a fuerzas externas (la causada por el campo gravitatorio, por un campo eléctrico aplicado, etc.).

La energía potencial total del sólido será la suma de las de las partículas que lo componen

$U=U_{1}({\vec {r}}_{1})+U_{2}({\vec {r}}_{2})+\ldots$

En el caso general, este cálculo puede ser extremadamente complicado y requerir información que no está disponible. Por ejemplo, para la energía potencial eléctrica no nos basta con saber la masa y forma del sólido: debemos conocer dónde se encuentran las cargas del sistema y cuánto vale cada una.

Un caso en el que sí se pueden hacer los cálculos correspondientes es el de la energía potencial debida al peso.

Suponiendo que la aceleración de la gravedad se expresa en la forma habitual

${\vec {g}}=-g{\vec {k}}$

la energía potencial de cada una de las masas es de la forma $U_{i}=m_{i}gz_{i}$ con la altura medida respecto a un nivel de referencia (el mismo para todas las partículas). Esto nos da una energía potencial total

$U=g(m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}+...)=Mgz_{G}\,$

esto es, equivale al que tendría una partícula con la masa total del sistema situada a la altura del centro de masas. Puesto que esto debe ser cierto sea cual sea la orientación del sólido (esto es, si giramos el sólido 90° se obtiene lo mismo pero con $x_{G}$ o $y_{G}$), se puede concretar más y decir que la energía potencial gravitatoria es la misma que tendría si toda la masa estuviera concentrada en la posición del centro de masas. Esta es una de las razones por las que al centro de masas se le denomina también centro de gravedad. Hay que destacar, no obstante, que esta relación deja de cumplirse si el campo gravitatorio depende de la posición (el centro de gravedad de la Luna no coincide con el centro de masas, ya que la atracción terrestre no es la misma en todos sus puntos).