Caso de coeficiente de dilatación

Enunciado

En las proximidades de 20℃ la densidad de una sustancia sigue la gráfica lineal de la figura. ¿Cuánto vale el coeficiente de dilatación volumétrica a 20℃, en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\,^\circ{}\mathrm{C})^{-1}} ?

Solución

El coeficiente de dilatación volumétrica se puede calcular de forma aproximada como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta = -\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_p \simeq -\frac{1}{\rho}\,\frac{\Delta \rho}{\Delta T}}

A 20℃ el valor de la densidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(20\,^circ{}\mathrm{C})=2650\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}}

Para hallar la derivada calculamos la pendiente de la recta. Tomamos dos puntos de la cuadrícula y resulta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\Delta\rho}{\Delta T}=\frac{2649-2650}{25-5}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3\,^\circ{}\mathrm{C}}=-0.2\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3\,^\circ{}\mathrm{C}}}

lo que nos da el coeficiente de dilatación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta = -\frac{-0.2}{2650}(\,^\circ\mathrm{C})^{-1}=75\times 10^-6(\,^\circ\mathrm{C})^{-1}}