Compresión adiabática de un gas

Enunciado

Suponga el sistema del problema “Trabajo en una compresión por un peso”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?

Solución

Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor. En el caso de los granos de arena es un proceso isotermo pero no adiabático.

En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo. Es un proceso adiabático pero no isotermo.

La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica

$W+\overbrace {Q} ^{=0}=\Delta U$

Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.

Compresión por una pesa

Al tratarse de una cantidad fija de un gas ideal, se verifica la ecuación de estado

${\frac {p_{A}V_{A}}{T_{A}}}={\frac {p_{B}V_{B}}{T_{B}}}$

donde, como en el caso isotermo

$p_{A}=p_{0}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad p_{B}=p_{0}+{\frac {mg}{S}}=125\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad V_{A}=Sh_{A}=160\,\mathrm {cm} ^{3}$

pero ahora

$T_{B}\neq T_{A}\,$

por lo que no puede eliminarse de la ecuación.

Por ser la presión externa constante durante la compresión, el trabajo realizado sobre el gas vale

$W=-\int _{A}^{B}p_{\mathrm {ext} }\,\mathrm {d} V=-p_{B}(V_{B}-V_{A})$

La variación de la energía interna se debe al cambio en la temperatura

$\Delta U=nc_{v}(T_{B}-T_{A})\,$

siendo $n$ el número de moles del gas y $c_{v}$ la capacidad calorífica molar a volumen constante. La capacidad calorífica a volumen constante se escribe

$c_{v}={\frac {R}{\gamma -1}}\qquad \qquad \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$

siendo $\gamma \simeq 1.4$ para el aire (al igual que para los gases diatómicos). Esta relación da el incremento en la energía

$\Delta U={\frac {nR(T_{B}-T_{A})}{\gamma -1}}={\frac {nRT_{B}-nRT_{A}}{\gamma -1}}={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}$

Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna

$W=\Delta U\qquad \Rightarrow \qquad -p_{B}(V_{B}-V_{A})={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}$

con los valores numéricos (p en kPa, V en L)

$-125(V_{B}-0.160)={\frac {125V_{B}-16}{0.4}}\qquad \Rightarrow \qquad -50V_{B}+8=125V_{B}-16$

esta ecuación nos permite hallar el volumen final

$V_{B}={\frac {24}{175}}\mathrm {L} =0.137\,\mathrm {L}$

siendo la altura final del pistón

$h_{B}={\frac {V_{B}}{S}}=8.6\,\mathrm {cm}$

Más en general

$V_{A}\left(p_{B}+{\frac {p_{A}}{\gamma -1}}\right)=p_{B}V_{B}\left({\frac {1}{\gamma -1}}+1\right)\qquad \Rightarrow \qquad V_{B}=V_{A}\left(1-{\frac {p_{B}-p_{A}}{\gamma p_{B}}}\right)$

Vemos que se comprime menos que con paredes diatermas (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.

El trabajo realizado en este proceso es

$W=-p_{B}(V_{B}-V_{A})={\frac {V_{A}(p_{B}-p_{A})}{\gamma }}={\frac {mgh_{0}}{\gamma }}=2.86\,\mathrm {J}$

Este trabajo es igual a la variación de la energía interna. La temperatura final de gas vale

$T_{B}={\frac {p_{B}V_{B}}{p_{A}V_{A}}}T_{A}=321\,\mathrm {K} =48\,^{\circ }\mathrm {C}$

El calor transferido en el proceso es nulo, por ser éste adiabático

$Q=0\,$

Compresión por un montón de arena

En el caso de la compresión gradual, el proceso puede considerarse cuasiestático. En este caso se cumple la ley de Poisson

$p_{B}V_{B}^{\gamma }=p_{A}V_{A}^{\gamma }$

lo que nos da el nuevo volumen final

$V_{B}=V_{A}\left({\frac {p_{A}}{p_{B}}}\right)^{1/\gamma }=136\,\mathrm {cm} ^{3}$

Una forma de llegar a este resultado es observar que en el caso de una pesa de masa finita se cumple

$V_{B}=V_{A}\left(1-{\frac {p_{B}-p_{A}}{\gamma p_{B}}}\right)V_{A}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\Delta V}{V_{A}}}={\frac {V_{B}-V_{A}}{V_{A}}}=-{\frac {\Delta p}{\gamma p_{B}}}$

donde

$\Delta V=V_{B}-V_{A}\qquad \qquad \Delta p=p_{B}-p_{A}$

Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales

${\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-{\frac {\mathrm {d} p}{\gamma p}}$

e integrando aquí se llega a la relación potencial. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.

La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

$T_{B}={\frac {p_{B}V_{B}}{p_{A}V_{A}}}T_{A}={\frac {125\times 136}{100\times 160}}300\,\mathrm {K} =320\,\mathrm {K} =47\,^{\circ }\mathrm {C}$

Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

$W={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}$

que en este caso da

$W=2.63\,\mathrm {J}$

La variación de la energía será igual al trabajo, por ser nulo el calor

$\Delta U=W=2.63\,\mathrm {J}$