Compresión lineal de un gas

Enunciado

Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión $p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$, temperatura $T_{A}=300\,\mathrm {K}$ y ocupa un volumen $V_{A}=0.01\,\mathrm {m} ^{3}$, según la ley

$p=3p_{A}-{\frac {2p_{A}V}{V_{A}}}$

La compresión continúa hasta que la presión vale $p_{B}=2p_{A}$.

1. Calcule la temperatura final del gas. ¿Es este un proceso isotermo?
2. Trace la curva que describe el proceso en un diagrama pV.
3. ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el gas? ¿En qué estado la alcanza?

Temperatura final

Si escribimos la ecuación con valores numéricos, con la presión en kPa, la temperatura en K y el volumen en litros tenemos

$p_{A}=100\qquad V_{A}=10\qquad T_{A}=300\qquad \qquad p_{B}=2p_{A}=200$

lo que llevado a la ecuación del proceso da

$p=300-{\frac {200}{10}}V=300-20V$

El volumen final corresponde al estado en el que la presión vale 200 kPa

$200=300-20V_{B}\qquad \Rightarrow \qquad V_{B}=5\,\mathrm {L}$

Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales.

${\frac {p_{A}V_{A}}{T_{A}}}={\frac {p_{B}V_{B}}{T_{B}}}\qquad \Rightarrow \qquad T_{B}=T_{A}\,{\frac {p_{B}}{p_{A}}}\,{\frac {V_{B}}{V_{A}}}=300\,{\frac {200}{100}}\,{\frac {5}{10}}=300\,\mathrm {K}$

Vemos que la temperatura final es la misma que la inicial.

Podríamos pensar que se trata de un proceso isotermo, pero no lo es, ya que la temperatura cambia a lo largo del proceso. No basta con que la temperatura en los extremos sea la misma. Debe ser constante en todo el camino.

Analíticamente tenemos para la temperatura en los estados intermedios

$T=300\,{\frac {p}{100}}\,{\frac {V}{10}}=300\,{\frac {300-20V}{100}}\,{\frac {V}{10}}=90V-6V^{2}$

que no es una constante.

Representación gráfica

Dado que la presión depende del volumen en la forma

$p=300-20V=a+bV\,$    $a=300\,$    $b=-20$

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es $(10,300)$ y el punto final corresponde a $(5,200)$

Si fuera un proceso isotermo, la curva debería ser una hipérbola. Si trazamos la gráfica del proceso y de las isotermas, vemos que la temperatura inicialmente aumenta y luego disminuye.

Temperatura máxima

Antes hemos calculado la temperatura para cada volumen

$T=90V-6V^{2}\,$

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.

$0={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} V}}=90-12V\qquad \Rightarrow \qquad V={\frac {90}{12}}=7.5\,\mathrm {L}$

Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es

$T_{\mathrm {max} }=90\cdot 7.5-6\cdot (7.5)^{2}=337.5\,\mathrm {K}$