Diferencia entre revisiones de «Barra rotando alrededor de su centro con muelle, energía (Sept.2022 G.I.C.)»
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Revisión del 13:34 12 ene 2024
Enunciado
La barra de la figura tiene longitud y masa . Una argolla de masa está situada a una distancia del centro de la barra. El rozamiento entre la argolla y la barra es tán fuerte que la argolla no se mueve nunca de esta posición en la barra. La figura muestra el instante inicial en el que la barra y la masa están en reposo.
- Encuentra la expresión que da la energía potencial del sistema en la posición inicial.
- Calcula la velocidad de rotación de la barra y la velocidad de la argolla cuando la altura del extremo de la barra coincide con la altura del punto .
Nota: El momento de inercia de una barra de masa de masa y longitud respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es .
Solución
Energía potencial en la posición inicial
La única fuerza conservativa en el problema es la gravedad. Por tanto, la energía potencial es únicamente gravitatoria. La energa potencial total es la suma de las energías potenciales de la barra y la argolla. Tomando como referencia la altura del centro de la barra, la energía potencial de la barra es cero. Entonces la energía potencial inicial es
Velocidad de rotación cuando la barra está horizontal
Cuando la barra está horizontal, la energía potencial es nula, pues tanto la argolla como el centro de la barra están a la altura de referecia. Por tanto, la energía mecánica es íntegramente cinética. La energía cinética es la suma de la de la argolla y la barra.
Energía cinética de la barra
En un sólido rígido la energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación. En este caso, el centro de masas de la barra está siempre en reposo. Por tanto, la energía cinética de la barra es únicamente de rotación. Utilizando la indicación de la nota tenemos
Energía cinética de la argolla
La argolla es una partícula puntual. Entonces, su energía cinética es
Como la argolla no cambia su posición respecto de la barra, su velocidad se debe a la rotación de ésta. Entonces, la argolla hace un movimiento circular de radio . Usando las expresiones para el movimiento circular, la rapidez de la argolla es
Por tanto, su energía cinética es
Balance de energía mecánica
Cuando rota la barra las fuerzas externas que actuán sobre el sistema barra-argolla son el peso de la argolla y la fuerza vincular sobre la barra en su centro . Debido a que el centro de la barra no se mueve, la potencia que transmite esta fuerza al sistema es nula
Entonces, no hace trabajo y no afecta al balance de energía mecánica. Ésta se conserva.
En el instante inicial, como la barra está en reposo, la energía mecánica es íntegramente potencial
Cuando la barra está horizontal la energía mecánica es íntegramente cinética
Igualando las dos energías mecánicas obtenemos