Rodadura permanente de un disco

Enunciado

La rodadura permanente de un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\,\,;\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\,\,;\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}}

donde la superficie horizontal se encuentra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=-R} .

1. Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
2. Suponiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=\mathrm{cte}\,} , calcule la aceleración de dichos puntos para el mismo instante.

Velocidades

Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

Punto A

Su vector de posición relativa es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=-R\vec{\jmath}}

por lo que su velocidad vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right| = \vec{0}}

Punto B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}\,\,;}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})}

Punto C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}\,\,;}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right| = 2v_0\vec{\imath}}

Punto D

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}=-R\vec{\imath}\,\,;}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}

Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:

${\vec {v}}^{P}=\overbrace {{\vec {v}}^{A}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AP}}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AP}}\perp {\overrightarrow {AP}}$

Aceleraciones

La expresión general del campo de aceleraciones es

${\vec {a}}^{P}={\vec {a}}^{O}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}})$

En este caso tenemos que la velocidad del punto O es constante, por lo que

${\vec {a}}^{O}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{O}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v_{0}}{\mathrm {d} t}}{\vec {\imath }}={\vec {0}}$

También es nula la aceleración angular

${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}$

lo que nos deja con

${\vec {a}}^{P}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}})$

Desarrollando el doble producto vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P = (\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OP})\vec{\omega}-\omega^2\overrightarrow{OP}}

Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P = -\omega^2\overrightarrow{OP}= -\frac{v_0^2}{R^2}\overrightarrow{OP}}

En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}}