Movimiento circular en el plano OXY

Enunciado

Una partícula se mueve según la ecuación horaria

${\vec {r}}=A\cos(\omega t){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}$

1. Determine la trayectoria que sigue la partícula.
2. Para cada instante t, halle:
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración.
   3. Las componentes intrínsecas de la aceleración, tanto en forma vectorial como escalar.
   4. El triedro de Frenet $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}$
   5. El radio y el centro de curvatura

Trayectoria

Circunferencia en el plano OXY y centrada en el origen.

Cumple

$x^{2}+y^{2}=A^{2}\qquad \qquad z=0$

Velocidad y rapidez

Velocidad

${\vec {v}}=-A\omega \,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\imath }}+A\omega \cos(\omega t){\vec {\jmath }}$

Rapidez

$\left|{\vec {v}}\right|=A\omega$

Aceleración

${\vec {a}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t){\vec {\imath }}-A\omega ^{2}\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}$

Componentes intrínsecas

Aceleración tangencial

$a_{t}=0\qquad \qquad {\vec {a}}_{t}={\vec {0}}$

Aceleración normal

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t){\vec {\imath }}-A\omega ^{2}\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}\qquad \qquad a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=A\omega ^{2}$

Triedro de Frenet

Vector tangente

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=-\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\imath }}+\cos(\omega t){\vec {\jmath }}$

Vector normal

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}={\vec {a}}=-\cos(\omega t){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}$

Vector binormal

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}={\vec {k}}$

Radio y centro de curvatura

Radio de curvatura

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{|{\vec {a}}_{n}|}}=A$

Centro de curvatura

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}={\vec {0}}$