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Movimiento circular en el plano OXY

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve según la ecuación horaria

\vec{r}=A \cos⁡(\omega{}t) \vec{\imath}+A\,\mathrm{sen⁡}(\omega{}t)\vec{\jmath}
  1. Determine la trayectoria que sigue la partícula.
  2. Para cada instante t, halle:
    1. La velocidad y la rapidez.
    2. La aceleración.
    3. Las componentes intrínsecas de la aceleración, tanto en forma vectorial como escalar.
    4. El triedro de Frenet \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}
    5. El radio y el centro de curvatura

2 Trayectoria

Circunferencia en el plano OXY y centrada en el origen.

Cumple

x^2+y^2=A^2 \qquad\qquad z=0

3 Velocidad y rapidez

3.1 Velocidad

\vec{v}=-A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+A\omega\cos(\omega t)\vec{\jmath}

3.2 Rapidez

\left|\vec{v}\right|=A\omega

4 Aceleración

\vec{a}=-A\omega^2 \cos⁡(\omega{}t) \vec{\imath}-A\omega^2\,\mathrm{sen⁡}(\omega{}t)\vec{\jmath}

5 Componentes intrínsecas

5.1 Aceleración tangencial

a_t=0\qquad\qquad \vec{a}_t=\vec{0}

6 Aceleración normal=

\vec{a}_n=\vec{a}=-A\omega^2 \cos⁡(\omega{}t)\vec{\imath}-A\omega^2\,\mathrm{sen⁡}(\omega{}t)\vec{\jmath}\qquad\qquad a_n=\left|\vec{a}_n\right|=A\omega^2

7 Triedro de Frenet

7.1 Vector tangente

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}

7.2 Vector normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=-\cos⁡(\omega{}t) \vec{\imath}-\mathrm{sen⁡}(\omega{}t)\vec{\jmath}

7.3 Vector binormal

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}

8 Radio y centro de curvatura

8.1 Radio de curvatura

R=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_n|}=A

8.2 Centro de curvatura

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}

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