Coches frenando en una autopista

Enunciado

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad $v_{0}$ y separados por una distancia $d_{0}$. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo $a_{0}$ hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo $t_{f}$ en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.

1. Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
2. Si $t_{f}=0.30\,\mathrm {s}$, $v_{0}=120\,\mathrm {km/h}$ y $a_{0}=1.50\,\mathrm {m/s^{2}}$, calcula el valor mínimo de $d_{0}$ para que los coches no colisionen.

Solución

El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia $d_{0}$. En ese instante el coche que va delante (representado por $P_{2}$) empieza a frenar con aceleración constante $a_{0}$. El coche que va detras ($P_{1}$) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante $t=t_{f}$. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje $X$ la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración $-a_{0}$, su velocidad inicial es $v_{0}$ y su posición inicial es $d_{0}$. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene

$P_{2}\to \left\{{\begin{array}{l}v_{2}=\left\{{\begin{array}{ll}v_{0}-a_{0}t&0\leq t\leq t_{2}\\0&t\geq t_{2}\end{array}}\right.\\\\x_{2}=\left\{{\begin{array}{ll}d_{0}+v_{0}t-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}&0\leq t\leq t_{2}\\d_{0}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{2a_{0}}}&t\geq t_{2}\end{array}}\right.\end{array}}\right.$

El valor $t_{2}=v_{0}/a_{0}$ se determina igualando a cero la expresión de $v_{2}(t)$ válida para $t<t_{2}$. El valor de $x_{2}$ para $t>t_{2}$ se calcula poniento $t=t_{2}$ en la expresión de $x_{2}(t)$ válida para $t<t_{2}$.

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, $0<t<t_{f}$ y $t>t_{f}$. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos

$P_{1}\to \left\{{\begin{array}{l}v_{1}=\left\{{\begin{array}{ll}v_{0}&0<t\leq t_{f}\\v_{0}-a_{0}(t-t_{f})&t\geq t_{f}\end{array}}\right.\\\\x_{1}=\left\{{\begin{array}{ll}v_{0}t&0<t\leq t_{f}\\\\v_{0}t_{f}+v_{0}(t-t_{f})-{\dfrac {1}{2}}a_{0}(t-t_{f})^{2}&t\geq t_{f}\end{array}}\right.\end{array}}\right.$

En $t=t_{f}$ el coche 1 se encuentra en la coordenada $v_{0}t_{f}$ y tiene velocidad $v_{0}$. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos $t-t_{f}$ en vez de $t_{f}$.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es $x_{2}(t)-x_{1}(t)$. Esta función tiene tres expresiones, según en que instante de tiempo estemos

$d(t)=x_{2}(t)-x_{1}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}d_{0}-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}&0<t\leq t_{f}\\\\d_{0}-{\dfrac {1}{2}}a_{0}t_{f}(2t-t_{f})&t_{f}\leq t\leq t_{2}\\\\d_{0}+{\dfrac {1}{2}}a_{0}(t-t_{f})^{2}-v_{0}t+{\dfrac {v_{0}^{2}}{2a_{0}}}&t\geq t_{2}\end{array}}\right.$

La primera expresión corresponde a la situación en la que el coche el 2 está frenando pero el 1 aún no ha comenzado a frenar. La segunda describe la distancia cuando los dos coches están frenando. La tercera da la distancia cuando el coche 2 está parado y el 1 todavía está frenando.

Para que los coches no colisionen tiene que ocurrir que en el instante en que se pare el coche 1, $t=t_{1}$, esta distancia sea mayor que cero. Igualando a cero la expresión de $v_{1}(t)$ válida cuando $t>t_{f}$, obtenemos

$t_{1}=t_{f}+{\dfrac {v_{0}}{a_{0}}}.$

La distancia entre los coches en ese instante es

$d(t_{1})=d_{0}-v_{0}t_{f}.$

Así pues, para que no haya colisión debe ocurrir

$d(t_{1})\geq 0\Longrightarrow d_{0}\geq v_{0}t_{f}.$

Este resultado tiene sentido si los dos coches frenan con la misma aceleración. Una vez que empiezan a frenar los dos coches recorren la misma distancia antes de pararse. La condición dice que la distancia que separa los coches debe ser mayor que la que recorre el coche 1 antes de que empiece a frenar.

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos

$d_{0}=10\,\mathrm {m} .$

Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.