No Boletín - Eje central (Ex.Ene/19)

Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento instantáneo. La velocidad angular es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}\,} , la velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es $v_{d}=-2\,\,\mathrm {m/s} \,$, y la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(2,1,2)\,\,\mathrm{m}\,} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{A}=(v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m/s}\,} .

1. ¿Cuánto vale la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\,} de la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} ?
2. ¿Cuál es el valor (en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{m/s}\,} ) de la velocidad de los puntos del eje central del campo de velocidades?
3. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a dicho eje central?

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C\left(\displaystyle\frac{8}{3},0,-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, D\left(0,-\displaystyle\frac{8}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(\displaystyle\frac{4}{3},\displaystyle\frac{4}{3},0\right)\,\mathrm{m} }

Componente x de la velocidad del punto A

La velocidad de deslizamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular. Por tanto, conocidas la velocidad de deslizamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} , la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} y dos componentes de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{\! A}\,} , es posible deducir la componente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{\! A}\,} que falta a partir de la definición de la velocidad de deslizamiento:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d=\frac{\vec{v}_{\! A}\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=\frac{2\,v_x+10}{3}=-2\,\,\mathrm{m/s}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,v_x=-8\,\,\mathrm{m/s} }

Velocidad de los puntos del eje central

La velocidad de los puntos del eje central es precisamente la velocidad mínima (de módulo mínimo) de todo el campo de velocidades, y se determina mediante la siguiente fórmula que ha sido deducida en la teoría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{min}}=v_d\,\displaystyle\frac{\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\left(-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}\;\!+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}\;\!-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\,\mathrm{m/s} }

Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto

Mediante la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, se calculan las velocidades de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \overrightarrow{AB}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AC}=\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AD}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{11}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_D=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AD}=\left(\,\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{16}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_E=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{20}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+4\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \end{array} }

Si un punto pertenece al eje central, su velocidad es necesariamente la velocidad mínima Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{min}}\,} calculada en el apartado anterior. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} , el cual es por tanto la respuesta correcta.

Punto perteneciente al eje central. Segundo método: determinación del eje central

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega},\vec{v}_A\}\,} , es posible determinar el eje central. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del eje central, obtenemos el vector de posición de un punto genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} del eje central:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\left[\,\left(2\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\,-\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,+\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} }

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} del eje central en el triedro OXYZ de referencia son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\left(2+2\lambda\,,-\,\displaystyle\frac{5}{3}-\lambda\,,\,\frac{2}{3}+2\lambda\right)\,\mathrm{m} }

Comparando esta terna Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\lambda-} paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto de ellos que pertenece al eje central es el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} . En efecto: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,} es el punto del eje central correspondiente a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=-1\,} .