Momento cinético de una barra

Enunciado

Una barra homogénea de masa $m$ y longitud $b$ gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular uniforme ${\vec {\omega }}$.

1. Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
2. Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
3. En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?

Rotación en torno al centro

Tomamos un sistema de ejes fijos en el cual el origen de coordenadas es el centro de la barra, el eje Z es el eje de rotación (por lo que ${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$) y X es el eje a lo largo de la barra.

El momento cinético respecto al centro de la barra (que es también su centro de masas) será, para una distribución continua

${\vec {L}}_{C}=\int \limits _{\mathrm {barra} }\mathrm {d} {\vec {L}}_{C}.$

El vector $\mathrm {d} {\vec {L}}_{C}$ es el momento angular respecto del centro de la barra de un elemento de masa.

$\mathrm {d} {\vec {L}}_{C}={\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {p}}={\vec {r}}\times (\mathrm {d} m\,{\vec {v}}).$

El vector de posición de cada elemento es

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }},\qquad x\in [-b/2,+b/2].$

Como la barra es homogénea, su densidad lineal de masa es constante $\lambda =M/L$. La longitud del elemento de masa de la barra es $\mathrm {d} x$. Entonces su masa es

$\mathrm {d} m={\dfrac {M}{b}}\,\mathrm {d} x.$

Cada elemento de masa realiza un movimiento circular caracterizado por el vector de rotación ${\vec {\omega }}$. Por tanto, su velocidad es

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=(\omega \,{\vec {k}})\times (x{\vec {\imath }})=wx\,{\vec {\jmath }}.$

Con todo esto, el momento angular de un elemento de masa es

$\mathrm {d} {\vec {L}}_{C}=(x\,{\vec {\imath }})\times \left({\dfrac {M}{b}}\,\omega \,x\mathrm {d} x\,{\vec {\jmath }}\right)={\dfrac {M}{b}}\,\omega \,x^{2}\mathrm {d} x\,{\vec {k}}.$

Para calcular el momento total hacemos la integral

$\int \limits _{\mathrm {barra} }\mathrm {d} {\vec {L}}_{C}=\int \limits _{-b/2}^{b/2}{\dfrac {M}{b}}\,\omega \,x^{2}\mathrm {d} x={\dfrac {1}{12}}Mb^{2}\omega \,{\vec {k}}={\dfrac {1}{12}}Mb^{2}{\vec {\omega }}.$

Si comparamos con la expresión

${\vec {L}}_{C}=I_{C}\,{\vec {\omega }},$

vemos que el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es

$I_{C}={\dfrac {1}{12}}Mb^{2}.$

Rotación en torno a un extremo

Si la barra gira en torno a uno de sus extremos, el cálculo es idéntico, salvo que ahora el origen de coordenadas es este extremo y

$x\in \left[0,b\right]$

El momento cinético será ahora

$\int \limits _{\mathrm {barra} }\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}=\int \limits _{0}^{b}{\dfrac {M}{b}}\,\omega \,x^{2}\mathrm {d} x={\dfrac {1}{3}}Mb^{2}\omega \,{\vec {k}}={\dfrac {1}{3}}Mb^{2}{\vec {\omega }}.$

Si comparamos con la expresión

${\vec {L}}_{O}=I_{O}\,{\vec {\omega }},$

vemos que el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo es

$I_{O}={\dfrac {1}{3}}Mb^{2}.$

Este momento cinético verifica la superposición

${\vec {L}}_{O}=M{\vec {r}}_{C}\times {\vec {v}}_{C}+{\vec {L}}_{C}\,$

siendo el primer término el momento cinético que tendría una masa puntual que se moviera como el centro de masas

$M{\vec {r}}_{C}\times {\vec {v}}_{C}=M\left({\frac {b}{2}}{\vec {\imath }}\right)\times \left(\omega {\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\right)={\frac {Mb^{2}}{4}}\omega {\vec {k}}$

cumpliéndose

${\vec {L}}_{O}={\frac {Mb^{2}}{3}}{\vec {\omega }}={\frac {Mb^{2}}{4}}{\vec {\omega }}+{\frac {Mb^{2}}{12}}{\vec {\omega }}=M{\vec {r}}_{C}\times {\vec {v}}_{C}+{\vec {L}}_{C}$

Variación de la longitud

Si en los resultados anteriores la longitud de la barra se multiplica por 2 (manteniendo constante la masa), el momento de inercia, tanto en un caso como en otro, se multiplica por 4.

Si esta extensión de la barra se produce por la acción de fuerzas internas (por ejemplo, porque se despliega una barra telescópica), el momento cinético permanece constante

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {L}}_{C}=I_{C}{\vec {\omega }}\\{\vec {L}}_{C}=I'_{C}{\vec {\omega }}'\end{array}}\right|\Rightarrow I_{C}{\vec {\omega }}=I_{C}'{\vec {\omega }}'\Rightarrow {\dfrac {|{\vec {\omega }}'|}{|{\vec {\omega }}|}}={\dfrac {I_{C}}{I_{C}'}}=\left({\dfrac {b}{b'}}\right)^{2}.$

El mismo razonamiento sirve si la rotación es alrededor de un extremo.

Vemos que si la longitud de la barra se multiplica por dos, la velocidad de rotación se multiplica por cuatro. Y si la longitud se divide por dos, la velocidad de rotación se divide por cuatro.

Este es el principio que emplean los patinadores para acelerarse o frenarse en la pista (extendiendo o contrayendo sus brazos). Aunque en este caso el patinador sí se encuentra sometido a fuerzas externas (la gravedad) se cumple la conservación parcial del momento cinético.